Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 10. Phương Sai và Độ Lệch Chuẩn

Trong thống kê, phương sai và độ lệch chuẩn là hai đại lượng quan trọng dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Hiểu rõ hai khái niệm này là nền tảng để phân tích và đưa ra kết luận chính xác về dữ liệu.

1. Phương Sai (Variance)

Phương sai, ký hiệu là σ² (sigma bình phương), là giá trị trung bình của bình phương độ lệch của mỗi giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình của tập dữ liệu đó.

Công thức tính phương sai:

• Đối với mẫu (sample): s² = Σ(x_i - x̄)² / (n - 1)
• Đối với tổng thể (population): σ² = Σ(x_i - μ)² / N

Trong đó:

• x_i: Giá trị thứ i trong tập dữ liệu
• x̄: Giá trị trung bình của mẫu
• μ: Giá trị trung bình của tổng thể
• n: Số lượng phần tử trong mẫu
• N: Số lượng phần tử trong tổng thể

2. Độ Lệch Chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn, ký hiệu là σ (sigma), là căn bậc hai của phương sai. Nó thể hiện mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình theo đơn vị gốc của dữ liệu.

Công thức tính độ lệch chuẩn:

• Đối với mẫu: s = √[Σ(x_i - x̄)² / (n - 1)]
• Đối với tổng thể: σ = √[Σ(x_i - μ)² / N]

3. Ý Nghĩa của Phương Sai và Độ Lệch Chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.

Ví dụ:

Giả sử chúng ta có hai tập dữ liệu:

• Tập dữ liệu A: 2, 4, 6, 8, 10
• Tập dữ liệu B: 1, 3, 5, 7, 9

Cả hai tập dữ liệu đều có giá trị trung bình là 6. Tuy nhiên, tập dữ liệu A có phương sai và độ lệch chuẩn lớn hơn tập dữ liệu B, cho thấy dữ liệu trong tập A phân tán rộng hơn.

4. Ứng Dụng của Phương Sai và Độ Lệch Chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Tài chính: Đánh giá rủi ro của các khoản đầu tư.
• Khoa học: Phân tích kết quả thí nghiệm.
• Kỹ thuật: Kiểm soát chất lượng sản phẩm.
• Y học: Nghiên cứu dịch tễ học.

5. Bài Tập Ví Dụ

Bài tập: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của tập dữ liệu sau: 3, 5, 7, 9, 11

Giải:

1. Tính giá trị trung bình: x̄ = (3 + 5 + 7 + 9 + 11) / 5 = 7
2. Tính phương sai: s² = [(3-7)² + (5-7)² + (7-7)² + (9-7)² + (11-7)²] / (5-1) = 8
3. Tính độ lệch chuẩn: s = √8 ≈ 2.83

6. Luyện Tập Thêm

Để nắm vững kiến thức về phương sai và độ lệch chuẩn, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy truy cập tusach.vn để tìm kiếm các bài tập và giải bài tập toán lớp 10, 11, 12.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phương sai và độ lệch chuẩn. Chúc bạn học tập tốt!