Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Chào mừng bạn đến với bài học số 13 trong chương trình giải tích của tusach.vn! Bài học hôm nay sẽ đi sâu vào một trong những ứng dụng quan trọng nhất của tích phân: ứng dụng trong hình học. Chúng ta sẽ học cách sử dụng tích phân để tính diện tích các hình phẳng và thể tích của các vật thể, mở rộng khả năng giải quyết các bài toán thực tế.

I. Tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức:

S = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

• f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
• a và b là tung độ của hai điểm giới hạn hình phẳng

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Giải:

S = ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3

II. Tính thể tích vật thể

Có nhiều phương pháp để tính thể tích vật thể bằng tích phân, tùy thuộc vào hình dạng của vật thể. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

• Phương pháp đĩa tròn: Sử dụng khi vật thể có tiết diện vuông góc với một trục là một hình tròn.
• Phương pháp vỏ trụ: Sử dụng khi vật thể có tiết diện vuông góc với một trục là một hình trụ rỗng.

Phương pháp đĩa tròn:

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

Phương pháp vỏ trụ:

V = 2π ∫_a^b x * f(x) dx

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi việc quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Giải:

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = 8π

III. Bài tập áp dụng

Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập:

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin(x), trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = π.
2. Tính thể tích vật thể tạo bởi việc quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x² và y = 4 quanh trục Ox.
3. Tính thể tích vật thể tạo bởi việc quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = e^x, trục Oy và hai đường thẳng y = 1, y = e quanh trục Oy.

IV. Lời khuyên và tài liệu tham khảo

Để nắm vững kiến thức về ứng dụng hình học của tích phân, bạn nên:

• Nắm vững các công thức tính diện tích và thể tích.
• Luyện tập nhiều bài tập với các dạng khác nhau.
• Sử dụng các tài liệu tham khảo và video hướng dẫn trên tusach.vn.

Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn giải tích!

Tusach.vn luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục kiến thức. Hãy truy cập website của chúng tôi để khám phá thêm nhiều bài học và tài liệu hữu ích khác.