Lý Thuyết Tính Đơn Điệu & Cực Trị Hàm Số Toán 12

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12

Đây là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán 12, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững kiến thức về tính đơn điệu và cực trị giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số một cách hiệu quả.

Tusach.vn xin giới thiệu tài liệu tổng hợp lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn có thể ôn tập và củng cố kiến thức một cách tốt nhất.

1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm Định lý

1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)).

- Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0.

- Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0.

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4.

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

Định lý mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

- Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).

- Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \)) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\).

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2.

Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

- Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

- Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30.

Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Lập BBT của hàm số.
Nêu kết luận về các điểm trực trị và giá trị cực trị.

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá 3

Lý Thuyết Tính Đơn Điệu và Cực Trị của Hàm Số Toán 12: Tổng Quan

Chủ đề Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số và ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải quyết hiệu quả.

1. Khái Niệm Cơ Bản

Hàm số đơn điệu: Một hàm số được gọi là đơn điệu trên một khoảng nếu nó luôn tăng hoặc luôn giảm trên khoảng đó.
Hàm số đồng biến: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≤ f(x₂).
Hàm số nghịch biến: Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≥ f(x₂).
Điểm cực đại: Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng đó.
Điểm cực tiểu: Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đó.

2. Điều Kiện Đủ để Hàm Số Đơn Điệu

Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thường sử dụng đạo hàm của hàm số:

Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó.
Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.

3. Điều Kiện Cần để Hàm Số Cực Trị

Để một điểm x₀ là điểm cực trị của hàm số f(x), cần có điều kiện:

f'(x₀) = 0
f'(x) đổi dấu khi x đi qua x₀.

4. Quy Tắc Xét Dấu của Đạo Hàm

Quy tắc này giúp chúng ta xác định khoảng mà hàm số đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị:

Khoảng	Dấu của f'(x)	Kết luận
(a, x₀)	+	Hàm số đồng biến
(x₀, b)	-	Hàm số nghịch biến

5. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp

Xác định khoảng đơn điệu của hàm số: Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm và kết luận.
Tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số: Giải phương trình f'(x) = 0, xét dấu đạo hàm và kết luận.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các đầu mút của đoạn, so sánh và kết luận.

6. Ví Dụ Minh Họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm khoảng đơn điệu và điểm cực trị.

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu đạo hàm:

Khi x < 0: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến
Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến
Khi x > 2: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Điểm cực đại là x = 0, điểm cực tiểu là x = 2.

Kết Luận

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 là nền tảng quan trọng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Việc nắm vững lý thuyết, quy tắc và rèn luyện kỹ năng giải bài tập sẽ giúp bạn đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích. Hãy truy cập tusach.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu ôn tập Toán 12 hữu ích khác!