Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2

Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập.

Chúng tôi sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây: a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\) b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\) c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\) d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

Đề bài

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)

b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\)

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\)

d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Phương trình của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) có dạng:

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)

- Nếu phương trình đã ở dạng chuẩn, xác định \(a\), \(b\), \(c\) và \(R\) từ phương trình.

- Nếu phương trình chưa chuẩn, đưa về dạng chuẩn bằng cách hoàn phương cho các biến \(x\), \(y\), \(z\).

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)

Từ phương trình, ta có:

- Tâm \(I(0,3, - 2)\)

- Bán kính \(R = \sqrt 1 = 1\)

b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\)

Từ phương trình, ta có:

- Tâm \(I(2,3,0)\)

- Bán kính \(R = \sqrt 4 = 2\)

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\)

Ta có: \(({x^2} - 8x) + ({y^2} - 2y) + {z^2} = - 1\)

- \(x\): \({x^2} - 8x = {(x - 4)^2} - 16\)

- \(y\): \({y^2} - 2y = {(y - 1)^2} - 1\)

- Phương trình trở thành:

\({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 16 + 1 - 1 = 16\)

- Tâm \(I(4,1,0)\)

- Bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\)

d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

Chia cả hai vế cho 3: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z = 1\)

- \(x\): \({x^2} - 2x = {(x - 1)^2} - 1\)

-\(y\): \({y^2} + \frac{8}{3}y = {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} - \frac{{16}}{9}\)

- \(z\): \({z^2} + 5z = {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4}\)

- Phương trình trở thành:

\({(x - 1)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = 1 + 1 + \frac{{16}}{9} + \frac{{25}}{4} = \frac{{79}}{{36}}\)

- Tâm \(I\left( {1, - \frac{4}{3}, - \frac{5}{2}} \right)\)

- Bán kính \(R = \sqrt {\frac{{79}}{{36}}} = \frac{{\sqrt {79} }}{6}\)

Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2: Đề bài

Bài tập 5.31 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến. Cụ thể, đề bài thường cho một hàm số bậc ba hoặc bậc bốn và yêu cầu phân tích các yếu tố trên.

Phương pháp giải bài tập khảo sát hàm số

Xác định tập xác định của hàm số: Kiểm tra xem có điều kiện nào về x không (ví dụ: mẫu số khác 0, căn thức không âm, logarit có cơ số lớn hơn 0 và khác 1).
Tính đạo hàm cấp một (y'): Đây là bước quan trọng để tìm các điểm cực trị và khoảng đơn điệu.
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0 để tìm các giá trị x mà tại đó đạo hàm bằng 0. Kiểm tra dấu của y' để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Lập bảng biến thiên: Bảng biến thiên giúp ta hình dung rõ hơn về sự biến đổi của hàm số trên các khoảng xác định.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Dựa vào dấu của y', ta xác định khoảng mà hàm số đồng biến (y' > 0) và khoảng mà hàm số nghịch biến (y' < 0).
Tìm cực đại, cực tiểu: Thay các giá trị x tìm được ở bước 3 vào hàm số ban đầu để tìm giá trị y tương ứng.
Khảo sát giới hạn vô cùng: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và trừ vô cùng để xác định tiệm cận ngang (nếu có).
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã thu thập, ta vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 (Ví dụ minh họa)

Giả sử bài tập 5.31 có hàm số: y = x³ - 3x² + 2

Bước 1: Tập xác định

Tập xác định của hàm số là D = ℝ (tất cả các số thực).

Bước 2: Tính đạo hàm cấp một

y' = 3x² - 6x

Bước 3: Tìm các điểm cực trị

Giải phương trình y' = 0: 3x² - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2

Lập bảng xét dấu y':

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+
Hàm số	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_cđ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y_ct = -2.

Bước 4: Lập bảng biến thiên (tóm tắt)

Bảng biến thiên sẽ thể hiện các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và giới hạn vô cùng.

Bước 5: Kết luận

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2). Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 2) và cực tiểu tại điểm (2; -2).

Lưu ý khi giải bài tập khảo sát hàm số

Luôn kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm chính xác.
Lập bảng xét dấu đạo hàm một cách cẩn thận.
Kết hợp các thông tin đã thu thập để vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 và các bài tập khảo sát hàm số nói chung. Chúc các em học tập tốt!