Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Chào mừng đến với Chương 1 của khóa học về ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Đây là một chương vô cùng quan trọng, đặt nền móng cho việc hiểu sâu hơn về các khái niệm giải tích và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.

1. Giới thiệu chung về đạo hàm và ứng dụng

Đạo hàm của một hàm số tại một điểm biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Nó có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm:

• Tìm cực trị của hàm số (cực đại, cực tiểu)
• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số
• Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác

2. Khảo sát hàm số bằng đạo hàm

Để khảo sát một hàm số bằng đạo hàm, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp nhất (f'(x)): Đạo hàm cấp nhất cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến.
2. Tìm điểm dừng (f'(x) = 0): Các điểm dừng là các ứng cử viên cho cực trị.
3. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Dựa vào dấu của f'(x) trên các khoảng xác định.
4. Tính đạo hàm cấp hai (f''(x)): Đạo hàm cấp hai cho biết tính lồi, lõm của đồ thị hàm số.
5. Tìm điểm uốn (f''(x) = 0): Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
6. Lập bảng biến thiên: Tổng hợp các thông tin thu được để vẽ đồ thị hàm số.

3. Các loại cực trị và cách xác định

Có hai loại cực trị chính:

• Cực đại: Điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất trong một khoảng nào đó.
• Cực tiểu: Điểm mà hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong một khoảng nào đó.

Để xác định một điểm dừng là cực đại hay cực tiểu, ta có thể sử dụng:

• Phương pháp dấu của đạo hàm cấp nhất: Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x₀ thì x₀ là điểm cực đại. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu.
• Phương pháp đạo hàm cấp hai: Nếu f''(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại. Nếu f''(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.

4. Điểm uốn và tính lồi, lõm của đồ thị hàm số

Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Để xác định điểm uốn, ta giải phương trình f''(x) = 0. Nếu f''(x) đổi dấu khi đi qua điểm x₀ thì x₀ là điểm uốn.

Đồ thị hàm số được gọi là lồi trên một khoảng nếu f''(x) > 0 trên khoảng đó. Đồ thị hàm số được gọi là lõm trên một khoảng nếu f''(x) < 0 trên khoảng đó.

5. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = x³ - 3x² + 2. Chúng ta sẽ khảo sát hàm số này bằng cách sử dụng các bước đã nêu ở trên.

(Phần này sẽ bao gồm các bước tính toán chi tiết và giải thích cụ thể)

6. Bài tập thực hành

Để củng cố kiến thức, hãy làm các bài tập sau:

• Bài 1: Khảo sát hàm số y = x² - 4x + 3
• Bài 2: Khảo sát hàm số y = -x³ + 3x
• Bài 3: Khảo sát hàm số y = x⁴ - 2x² + 1

Tusach.vn hy vọng rằng chương này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Chúc bạn học tập tốt!