Đề bài
Tính các tích phân sau:
a) \(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx\);
b) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx\);
c) \(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx\);
d) \(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx\);
e) \(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx\);
g) \(\int_1^4 | 5 - 3x|dx\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tích phân đa thức: Sử dụng tính chất phân phối của tích phân và tính các tích phân bậc nhất hoặc bậc hai.
- Tích phân lượng giác: Sử dụng các công thức lượng giác, chẳng hạn như công thức hạ bậc hoặc các công thức đồng nhất.
- Tích phân hàm mũ: Dùng công thức tích phân cơ bản của hàm mũ.
- Tích phân có giá trị tuyệt đối: Chia miền tích phân thành các đoạn nhỏ hơn sao cho hàm bên trong giá trị tuyệt đối có thể bỏ dấu trị tuyệt đối.
Lời giải chi tiết
a)
\(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx = \int_{ - 1}^2 {({x^2} + x)} dx = \int_{ - 1}^2 {{x^2}} dx + \int_{ - 1}^2 x dx\)
Tính từng phần:
\(\int_{ - 1}^2 {{x^2}} dx = \frac{{{x^3}}}{3}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3,\)
\(\int_{ - 1}^2 x dx = \frac{{{x^2}}}{2}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.\)
Kết quả:
\(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}.\)
b)
Sử dụng công thức hạ bậc:
\({\cos ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 + \cos x}}{2}.\)
Tính tích phân:
\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos x)} dx = \frac{1}{2}\left( {\int_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx} \right).\)
Tính từng phần:
\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dx = \frac{\pi }{2},\quad \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx = \sin x|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - 0 = 1.\)
Kết quả:
\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right) = \frac{{\pi + 2}}{4}.\)
c)
Sử dụng công thức tích phân của hàm mũ:
\(\int {{a^{bx}}} dx = \frac{{{a^{bx}}}}{{b\ln a}}.\)
Tính tích phân:
\(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx = \int_1^2 2 \cdot {2^{ - 3x}}dx = 2\int_1^2 {{2^{ - 3x}}} dx.\)
Áp dụng công thức:
\(2\int {{2^{ - 3x}}} dx = 2 \cdot \frac{{{2^{ - 3x}}}}{{ - 3\ln 2}} = - \frac{{{2^{ - 3x + 1}}}}{{3\ln 2}}.\)
Thay cận:
\( - \frac{{{2^{ - 3x + 1}}}}{{3\ln 2}}|_1^2 = - \frac{{{2^{ - 5}}}}{{3\ln 2}} + \frac{{{2^{ - 2}}}}{{3\ln 2}} = \frac{1}{{3\ln 2}}\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{32}}} \right) = \frac{1}{{3\ln 2}} \cdot \frac{7}{{32}}.\)
Kết quả:
\(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx = \frac{7}{{96\ln 2}}.\)
d)
Sử dụng công thức:
\({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1.\)
Tính tích phân:
\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1)} dx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx - \int_0^{\frac{\pi }{4}} 1 dx.\)
Tính từng phần:
\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - 0 = 1,\)
\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} 1 dx = \frac{\pi }{4}.\)
Kết quả:
\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = 1 - \frac{\pi }{4}.\)
e)
Chia thành hai tích phân:
\(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx = \int_1^4 {{e^{2x + 1}}} dx - 3\int_1^4 x \sqrt x dx.\)
Tính từng phần:
- Với \({e^{2x + 1}}\), đặt \(u = 2x + 1\), \(du = 2dx\), ta có:
\(\int {{e^{2x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int {{e^u}du = \frac{{{e^u}}}{2}} = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{2}.\)
Thay cận:
\(\frac{{{e^{2x + 1}}}}{2}|_1^4 = \frac{{{e^9}}}{2} - \frac{{{e^3}}}{2}.\)
- Với \(x\sqrt x = {x^{3/2}}\), ta có:
\(\int {{x^{3/2}}} dx = \frac{2}{5}{x^{5/2}}.\)
Thay cận:
\(\frac{2}{5}{x^{5/2}}|_1^4 = \frac{2}{5}(32 - 1) = \frac{{62}}{5}.\)
Kết quả:
\(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx = \frac{{{e^9} - {e^3}}}{2} - \frac{{186}}{5}.\)
g)
Tìm điểm đổi dấu:
\(5 - 3x = 0\quad {\rm{khi}}\quad x = \frac{5}{3}.\)
Chia khoảng tích phân:
\(\int_1^4 | 5 - 3x|dx = \int_1^{\frac{5}{3}} {(5 - 3x)} dx + \int_{\frac{5}{3}}^4 {(3x - 5)} dx.\)
Tính tích phân trên đoạn \([1,\frac{5}{3}]\):
\(\int_1^{\frac{5}{3}} {(5 - 3x)} dx = 5x - \frac{{3{x^2}}}{2}|_1^{\frac{5}{3}} = \frac{{25}}{3} - \frac{{25}}{6} - \left( {5 - \frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3}.\)
Tính tích phân trên đoạn \([\frac{5}{3},4]\):
\(\int_{\frac{5}{3}}^4 {(3x - 5)} dx = \frac{{3{x^2}}}{2} - 5x|_{\frac{5}{3}}^4 = 4 - \left( { - \frac{{25}}{6}} \right) = \frac{{49}}{6}.\)
Kết quả cuối cùng:
\(\int_1^4 | 5 - 3x|dx = \frac{2}{3} + \frac{{49}}{6} = \frac{{53}}{6}.\)
