Đề bài
Viết phương trình của mặt phẳng:
a) Đi qua điểm \(M(1; - 2;4)\) và nhận \(\vec n = (2;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến;
b) Đi qua điểm \(A(0; - 1;2)\) và song song với giá của mỗi vectơ \(\vec u = (3;2;1)\) và \(\vec v = ( - 3;0;1)\)
c) Đi qua ba điểm \(A( - 1;2;3),B(2; - 4;3),C(4;5;6)\)
d) Đi qua ba điểm \(A( - 3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\(Ax + By + Cz + D = 0\)
Trong đó:
- \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Nếu biết một điểm \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A,B,C)\), phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1}),B({x_2},{y_2},{z_2}),C({x_3},{y_3},{z_3})\), phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Lời giải chi tiết
a) Đi qua điểm \(M(1; - 2;4)\) và nhận \(\vec n = (2;3;5)\) làm vectơ pháp tuyến:
Phương trình của mặt phẳng là:
\(2(x - 1) + 3(y + 2) + 5(z - 4) = 0\)
Rút gọn:
\(2x + 3y + 5z - 16 = 0\)
b) Đi qua điểm \(A(0; - 1;2)\) và song song với giá của mỗi vectơ \(\vec u = (3;2;1)\) và \(\vec v = ( - 3;0;1)\)
Tích có hướng của hai vectơ là:
\(\vec n = \vec u \times \vec v = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\3&2&1\\{ - 3}&0&1\end{array}} \right| = (2; - 6;6)\)
Phương trình mặt phẳng là:
\(2(x - 0) - 6(y + 1) + 6(z - 2) = 0\)
Rút gọn:
\(x - 3y + 3z - 9 = 0\)
c) Đi qua ba điểm \(A( - 1;2;3),B(2; - 4;3),C(4;5;6)\)
Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = (3; - 6;0),\quad \overrightarrow {AC} = (5;3;3)\)
Tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left( {( - 6).3 - 0.3;\,\,0.5 - 3.3;\,\,3.3 - ( - 6).5} \right) = ( - 18; - 9;39)\)
Phương trình mặt phẳng là:
\( - 18(x + 1) - 9(y - 2) + 39(z - 3) = 0\)
Rút gọn:
\( - 6x - 3y + 13z - 39 = 0\)
d) Đi qua ba điểm \(A( - 3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)\).
Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {AB} = (3; - 2;0),\quad \overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)\)
Tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left( {( - 2).( - 1) - 0.0;\,\,0.3 - 3.( - 1);\,\,3.0 - ( - 2).3} \right) = (2;3;6)\)
Phương trình mặt phẳng là:
\(2x + 3y + 6z + 6 = 0\)
