Giải bài tập 2.30 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải Bài Tập 2.30 Trang 83 SGK Toán 12 Tập 1: Đạo Hàm và Khảo Sát Hàm Số

Bài tập 2.30 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số, cụ thể là tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số: Tìm miền xác định của hàm số, tức là tập hợp tất cả các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
2. Tính đạo hàm cấp nhất: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
3. Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn (x₀).
4. Xác định dấu của đạo hàm cấp nhất: Xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
5. Tìm cực trị: Sử dụng dấu của đạo hàm cấp nhất để xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

Lời Giải Chi Tiết Bài Tập 2.30

Để minh họa, chúng ta sẽ cùng giải một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là:

f(x) = x³ - 3x² + 2

Bước 1: Xác định tập xác định

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Bước 2: Tính đạo hàm cấp nhất

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 3: Tìm điểm tới hạn

Giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2 là các điểm tới hạn.

Bước 4: Xác định dấu của đạo hàm cấp nhất

Xét dấu của f'(x) trên các khoảng (-∞; 0), (0; 2), và (2; +∞):

• Trên khoảng (-∞; 0), chọn x = -1, ta có f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 9 > 0, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này.
• Trên khoảng (0; 2), chọn x = 1, ta có f'(1) = 3(1)² - 6(1) = -3 < 0, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này.
• Trên khoảng (2; +∞), chọn x = 3, ta có f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 9 > 0, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này.

Bước 5: Tìm cực trị

Dựa vào dấu của đạo hàm cấp nhất, ta có:

• Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
• Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = -2.

Kết luận

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.

Luyện Tập Thêm

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 và các tài liệu tham khảo khác. Đừng ngần ngại liên hệ với Tusach.vn nếu gặp bất kỳ khó khăn nào.

Chúc các em học tập tốt!