Bài 1 trong chương trình Toán 12 tập trung vào việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số thông qua đạo hàm. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán tối ưu hóa và ứng dụng thực tế.
1. Khái niệm cơ bản
Đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0, ký hiệu f'(x0), biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó.
Hàm số đồng biến: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
Hàm số nghịch biến: Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
Điểm cực đại: Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x thuộc (a, b).
Điểm cực tiểu: Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x thuộc (a, b).
2. Mối quan hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu
Đây là mối liên hệ then chốt để giải quyết bài toán:
Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).
3. Điều kiện cực trị
Để một điểm x0 là điểm cực trị của hàm số f(x), cần thỏa mãn:
f'(x0) = 0
f'(x) đổi dấu khi x đi qua x0.
4. Quy tắc xét dấu đạo hàm
Để xét dấu đạo hàm, ta thường lập bảng xét dấu f'(x) dựa trên các nghiệm của phương trình f'(x) = 0 và các điểm mà f'(x) không xác định.
5. Ví dụ minh họa
Xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
f'(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)
f'(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 2.
x
-∞
0
2
+∞
f'(x)
+
-
+
f(x)
Đồng biến
Nghịch biến
Đồng biến
Vậy hàm số đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên (0, 2). Điểm x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu.
6. Bài tập áp dụng
Để củng cố kiến thức, hãy tự giải các bài tập sau:
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x4 - 4x2 + 3.
Xác định cực đại, cực tiểu của hàm số f(x) = x3 + 3x2 - 9x + 5.
Chúc bạn học tốt và thành công với môn Toán!
Tải sách PDF tại TuSach.vn mang đến trải nghiệm tiện lợi và nhanh chóng cho người yêu sách. Với kho sách đa dạng từ sách văn học, sách kinh tế, đến sách học ngoại ngữ, bạn có thể dễ dàng tìm và tải sách miễn phí với chất lượng cao. TuSach.vn cung cấp định dạng sách PDF rõ nét, tương thích nhiều thiết bị, giúp bạn tiếp cận tri thức mọi lúc, mọi nơi. Hãy khám phá kho sách phong phú ngay hôm nay!
