Đề bài
Tứ diện ABCD có các đỉnh \((A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4),D(4;0;6)\).
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình mặt phẳng có dạng: \(Ax + By + Cz + D = 0\)
Trong đó:
- \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Nếu biết một điểm \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A,B,C)\), phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1}),B({x_2},{y_2},{z_2}),C({x_3},{y_3},{z_3})\), phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Lời giải chi tiết
a)
Mặt phẳng \((ACD)\)
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC} = (0; - 1;1)\) và \(\overrightarrow {AD} = ( - 1; - 1;3).\)
- Tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {AC} \times \overrightarrow {AD} = \left( {( - 1).3 - 1.( - 1);\,\,\,1.( - 1) - 0.3;\,\,\,0.( - 1) - ( - 1).( - 1)} \right) = ( - 2; - 1; - 1)\)
Phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:
\( - 2(x - 5) - 1(y - 1) - 1(z - 3) = 0\)
Rút gọn:
\( - 2x + - y - z + 14 = 0\)
\(2x + y + z - 14 = 0\)
Mặt phẳng \((BCD)\)
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {BC} = (4; - 6;2)\) và \(\overrightarrow {BD} = (3; - 6;4)\).
- Tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = \left( {( - 6).4 - 2.( - 6);\,\,2.3 - 4.4;\,\,4.( - 6) - ( - 6).3} \right) = ( - 12; - 10; - 6)\)
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:
\( - 12(x - 1) - 10(y - 6) - 6(z - 2) = 0\)
Rút gọn:
\( - 12x - 10y - 6z + 84 = 0\)
Chia cả phương trình cho 2:
\(6x + 5y + 3z - 42 = 0\)
b)
- Tính vectơ \(\overrightarrow {AB} = ( - 4;5; - 1)\) và \(\overrightarrow {CD} = ( - 1;0;2).\)
- Vì mặt phẳng chứa cạnh AB và song song với cạnh CD, nên tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {CD} = \left( {5.2 - ( - 1).0;\,\,\,( - 1).( - 1) - ( - 4).2;\,\,( - 4).0 - 5.( - 1)} \right) = (10;6;5)\)
Phương trình mặt phẳng là:
\(10(x - 5) + 9(y - 1) + 5(z - 3) = 0\)
Rút gọn:
\(10x + 9y + 5z - 74 = 0\)
