Giải bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Tổng quan nội dung

Giải bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2

Bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương Số phức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về phép toán trên số phức, đặc biệt là phép chia số phức để tìm phần thực và phần ảo của một số phức cho trước.

Tusach.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Giả sử một máy bay thương mại M đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ D đến E có hình chiếu trên mặt đất là đoạn CB. Tại D, máy bay bay cách mặt đất là 9000 m và tại E là 12000 m. Một ra-đa được đặt trên mặt đất tại vị trí O cách C là 20000 m, cách B là 16000 m và (widehat {BOC} = {90^^circ }). Xét hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: 1000 m) với O là vị trí đặt ra-đa, B thuộc tia Oy, C thuộc tia Ox, khi đó ta có tọa độ các điểm như Hình 5.24. Giả sử ra-đa có bán kính dò tìm tối đa là 1600

Đề bài

Giả sử một máy bay thương mại M đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ D đến E có hình chiếu trên mặt đất là đoạn CB. Tại D, máy bay bay cách mặt đất là 9000 m và tại E là 12000 m. Một ra-đa được đặt trên mặt đất tại vị trí O cách C là 20000 m, cách B là 16000 m và \(\widehat {BOC} = {90^\circ }\). Xét hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: 1000 m) với O là vị trí đặt ra-đa, B thuộc tia Oy, C thuộc tia Ox, khi đó ta có tọa độ các điểm như Hình 5.24. Giả sử ra-đa có bán kính dò tìm tối đa là 16000 m. Hỏi ra-đa này có thể dò tìm được tín hiệu của máy bay M khi bay trên bầu trời từ D đến E hay không? Vì sao?

Giải bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 2

- Viết phương trình tham số của đường thẳng DE từ tọa độ điểm \(D\) và \(E\).

- Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng DE trong không gian. Nếu khoảng cách nhỏ hơn hoặc bằng bán kính dò tìm \(16000{\mkern 1mu} m\), ra-đa sẽ bắt được tín hiệu máy bay.

Lời giải chi tiết

Tọa độ điểm \(D(20;0;9)\) và \(E(0;16;12)\). Vectơ chỉ phương của đường thẳng DE là:

\(\overrightarrow {DE} = (0 - 20;16 - 0;12 - 9) = ( - 20;16;3)\)

Phương trình tham số của đường thẳng DE:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 20 - 20t}\\{y = 16t}\\{z = 9 + 3t}\end{array}} \right.\)

trong đó t là tham số.

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng DE, suy ra toạ độ điểm M là:

\(H(20 - 20t;16t;9 + 3t)\)

Và tích vô hướng của \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {DE} \) là:

\(\overrightarrow {DE} .\overrightarrow {OH} = ( - 20).(20 - 20t) + 16.16t + 3.(9 + 3t) = 0\)

Giải phương trình trên ta được điểm \(t = \frac{{373}}{{665}}\)

Điểm H có toạ độ là \(\left( {\frac{{1168}}{{133}};\frac{{5968}}{{665}};\frac{{7104}}{{665}}} \right)\)

Khoảng cách từ O đến đến đường thẳng DE chính là độ dài đoạn thẳng OH

\(d = \sqrt {{{\left( {\frac{{1168}}{{133}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5968}}{{665}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{7104}}{{665}}} \right)}^2}} \approx 16,486 = 16486m\)

Vì khoảng cách từ ra-da tới đường bay của máy bay M lớn hơn bán kính dò tìm tối đa của ra-da nên không thể thấy tín hiệu của máy bay M.

Giải bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2: Chi tiết và Dễ Hiểu

Bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học Số phức của môn Toán lớp 12. Bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về số phức, phép toán trên số phức, đặc biệt là phép chia số phức. Dưới đây là lời giải chi tiết và dễ hiểu, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Đề bài:

Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: z = (2 + i) / (1 - i)

Lời giải:

Để tìm phần thực và phần ảo của số phức z, ta cần thực hiện phép chia số phức và đưa về dạng a + bi, trong đó a là phần thực và b là phần ảo.

Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

Số phức liên hợp của (1 - i) là (1 + i). Ta nhân cả tử và mẫu của z với (1 + i):

z = (2 + i) / (1 - i) * (1 + i) / (1 + i)

Bước 2: Thực hiện phép nhân.

z = [(2 + i)(1 + i)] / [(1 - i)(1 + i)]

z = (2 + 2i + i + i²) / (1² - i²)

Vì i² = -1, ta có:

z = (2 + 3i - 1) / (1 - (-1))

z = (1 + 3i) / 2

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho 2.

z = 1/2 + (3/2)i

Kết luận:

Vậy, phần thực của số phức z là 1/2 và phần ảo của số phức z là 3/2.

Lưu ý quan trọng:

Luôn nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu để khử phần ảo ở mẫu số.
Nhớ rằng i² = -1.
Kiểm tra lại kết quả sau khi thực hiện các phép toán.

Mở rộng kiến thức:

Phép chia số phức là một phép toán quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong các lĩnh vực như kỹ thuật điện, vật lý và xử lý tín hiệu. Việc nắm vững phép toán này sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.

Bài tập tương tự:

Để rèn luyện thêm kỹ năng giải toán, các em có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (3 - 2i) / (2 + i)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + i) / (1 - i)

Tusach.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh đã hiểu rõ cách giải bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!

Khái niệm	Giải thích
Số phức	Một số có dạng a + bi, trong đó a và b là các số thực, và i là đơn vị ảo (i² = -1).
Số phức liên hợp	Số phức có cùng phần thực nhưng phần ảo trái dấu. Ví dụ, số phức liên hợp của (a + bi) là (a - bi).