Giải Bài Tập 1.37 Trang 46 Toán 12 Tập 1

Giải bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Tusach.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất và phương pháp giải.

Trong Vật lí, khi một điện trở ngoài có giá trị R (Ω) được nối qua một nguồn điện E (V) với một điện trở trong r (Ω) thì công suất (tính bằng W) của điện trở ngoài là: \(P = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}\) Khi R thay đổi, E và r cố định, ta xem P là hàm số theo R. Tìm công suất lớn nhất của điện trở ngoài.

Đề bài

Trong Vật lí, khi một điện trở ngoài có giá trị R (Ω) được nối qua một nguồn điện E (V) với một điện trở trong r (Ω) thì công suất (tính bằng W) của điện trở ngoài là:

\(P = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}\)

Khi R thay đổi, E và r cố định, ta xem P là hàm số theo R. Tìm công suất lớn nhất của điện trở ngoài.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

- Khảo sát hàm số P(R).

- Lấy đạo hàm của P theo R và đặt bằng 0.

- Giải phương trình đạo hàm để tìm giá trị R cực đại.

- Kiểm tra điều kiện để đảm bảo đó là giá trị cực đại.

- Tính giá trị công suất lớn nhất tại R đó.

Lời giải chi tiết

Ta có hàm số \(P(R) = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}\)

Lấy đạo hàm của P theo R:

\[P'(R) = \frac{{dP}}{{dR}} = \frac{{{E^2}.{{(R + r)}^2} - {E^2}R.2(R + r)}}{{{{(R + r)}^4}}} = \frac{{{E^2}({R^2} + 2Rr + {r^2} - 2{R^2} - 2Rr)}}{{{{(R + r)}^4}}} = \frac{{{E^2}({r^2} - {R^2})}}{{{{(R + r)}^4}}}\]

Đặt P(R)=0 suy ra: \({r^2} - {R^2} = 0 \Leftrightarrow {R^2} = {r^2} \Rightarrow R = r\)

Lấy đạo hàm cấp hai của P theo R:

\(P''(R) = \frac{{ - 2{E^2}R.{{(R + r)}^4} - {E^2}({r^2} - {R^2}).4{{(R + r)}^3}}}{{{{(R + r)}^8}}} = \frac{{ - 2{E^2}{{(R + r)}^4}\left[ {R - 2(r - R)} \right]}}{{{{(R + r)}^8}}} = \frac{{ - 2{E^2}\left[ {R - 2(r - R)} \right]}}{{{{(R + r)}^4}}}\)

Với R = r thì ta có:

\(P''(r) = \frac{{ - 2{E^2}\left[ {r - 2(r - r)} \right]}}{{{{(r + r)}^4}}} = \frac{{ - 2{E^2}r}}{{{r^5}}} = \frac{{ - 2{E^2}}}{{{r^4}}} < 0\)

Vì đạo hàm cấp hai tại R = r là âm, điều này xác nhận rằng R = r là một điểm cực đại.

Vậy công suất lớn nhất của điện trở ngoài khi R = r là: \({P_{\max }} = \frac{{{E^2}}}{{4r}}\)

Giải Bài Tập 1.37 Trang 46 SGK Toán 12 Tập 1: Hướng Dẫn Chi Tiết

Bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình Giải tích, cụ thể là phần Đạo hàm. Bài toán này thường yêu cầu học sinh áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đặc biệt là đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm lượng giác. Dưới đây là đề bài và lời giải chi tiết:

Đề Bài

Cho hàm số y = f(x) = sin²x. Tính f'(x).

Lời Giải Chi Tiết

Để tính đạo hàm f'(x) của hàm số y = sin²x, ta sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp. Đặt u = sinx, khi đó y = u².

Tính đạo hàm của u theo x: du/dx = cosx
Tính đạo hàm của y theo u: dy/du = 2u
Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp: dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

Thay các giá trị đã tính được vào công thức, ta có:

f'(x) = 2u * cosx = 2sinx * cosx

Sử dụng công thức lượng giác 2sinxcosx = sin2x, ta có thể viết lại:

f'(x) = sin2x

Kết Luận

Vậy, đạo hàm của hàm số y = sin²x là f'(x) = sin2x.

Mở Rộng và Lưu Ý

Quy tắc đạo hàm hàm hợp: Đây là một quy tắc quan trọng trong việc tính đạo hàm của các hàm số phức tạp. Việc nắm vững quy tắc này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán đạo hàm khác nhau.
Công thức lượng giác: Việc sử dụng các công thức lượng giác một cách linh hoạt sẽ giúp bạn đơn giản hóa biểu thức và tìm ra kết quả chính xác.
Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tính đạo hàm, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách tính đạo hàm ngược hoặc sử dụng các công cụ tính đạo hàm trực tuyến.

Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức về đạo hàm hàm hợp, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

Tính đạo hàm của hàm số y = cos²x
Tính đạo hàm của hàm số y = tan³x
Tính đạo hàm của hàm số y = e^{sin x}

Tusach.vn – Nơi Đồng Hành Cùng Bạn Học Toán

Tusach.vn luôn đồng hành cùng bạn trong quá trình học tập môn Toán. Chúng tôi cung cấp đầy đủ các tài liệu học tập, bài giảng, bài tập và lời giải chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất. Hãy truy cập Tusach.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu hữu ích khác!

Chủ đề	Nội dung
Bài tập	Bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1
Chương	Đạo hàm
Mục tiêu	Tính đạo hàm của hàm số lượng giác
Nguồn: Tusach.vn

Giải bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá