Giải bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2

Giải bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài tập này thường liên quan đến các kiến thức về tích phân và ứng dụng của tích phân trong tính diện tích.

Tusach.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất và phương pháp giải.

Cho đường thẳng \(d\): \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 3 + 3t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 6 + 4t}\end{array}} \right.\) a) Tìm tọa độ điểm \(A\) thuộc \(d\), biết \(OA = 7\). b) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) trên \(d\) và tính khoảng cách từ \(O\) đến \(d\).

Đề bài

Cho đường thẳng \(d\):

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 3 + 3t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 6 + 4t}\end{array}} \right.\)

a) Tìm tọa độ điểm \(A\) thuộc \(d\), biết \(OA = 7\).

b) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(O\) trên \(d\) và tính khoảng cách từ \(O\) đến \(d\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Dùng công thức khoảng cách \(OA = 7\) để tìm giá trị \(t\), từ đó xác định tọa độ của điểm \(A\). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(d\) và tính khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\).

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ điểm \(A\) thuộc \(d\) có dạng:

\(A(2 - 2t,3 + 3t,6 + 4t)\)

Điều kiện \(OA = 7\), tức là:

\(\sqrt {{{(2 - 2t)}^2} + {{(3 + 3t)}^2} + {{(6 + 4t)}^2}} = 7\)

Bình phương hai vế:

\(\begin{array}{l}{(2 - 2t)^2} + {(3 + 3t)^2} + {(6 + 4t)^2} = 49\\4 - 8t + 4{t^2} + 9 + 18t + 9{t^2} + 36 + 48t + 16{t^2} = 49\\29{t^2} + 58t + 49 = 49\\29t(t + 2) = 0\\t = 0,\,\,\,\,\,t = - 2\end{array}\)

Vậy điểm A có hai toạ độ là \((2;3;6),\,\,\,(6; - 3; - 2)\)

b) Tìm tọa độ điểm \(H\) (hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(d\)):

Vectơ OH là \((2 - 2t,3 + 3t,6 + 4t)\), và vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(( - 2,3,4)\). Ta cần giải phương trình:

\((2 - 2t)( - 2) + (3 + 3t)(3) + (6 + 4t)(4) = 0\) \( - 4 + 4t + 9 + 9t + 24 + 16t = 0\)

\(29 + 29t = 0\)

\(t = - 1\)

Vậy toạ độ điểm H là \((4;0;2)\)

Khoảng cách từ O đến d chính là độ dài đoạn OH

\(\left| {OH} \right| = \sqrt {{4^2} + {0^2} + {2^2}} = \sqrt {20} \approx 4,47\)

Giải bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2: Hướng dẫn chi tiết và phương pháp giải

Bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Toán 12, tập trung vào ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về tích phân, đặc biệt là tích phân xác định và cách xác định giới hạn tích phân.

Nội dung bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2

Thông thường, bài tập 5.20 yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và trục tọa độ. Để làm được điều này, chúng ta cần:

Xác định các đường cong và điểm giao nhau: Vẽ đồ thị các đường cong và tìm tọa độ các điểm giao nhau của chúng.
Xác định giới hạn tích phân: Dựa vào đồ thị, xác định khoảng giá trị của x mà hình phẳng giới hạn.
Thiết lập tích phân: Viết biểu thức tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Tính tích phân: Tính giá trị của tích phân xác định để tìm diện tích hình phẳng.

Ví dụ minh họa giải bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2

Giả sử bài tập yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và các đường thẳng x = 0 và x = 2.

Bước 1: Xác định các đường cong và điểm giao nhau

Đường cong y = x² là một parabol có đỉnh tại gốc tọa độ. Các đường thẳng x = 0 và x = 2 là các đường thẳng đứng.

Bước 2: Xác định giới hạn tích phân

Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong này có giới hạn tích phân từ x = 0 đến x = 2.

Bước 3: Thiết lập tích phân

Diện tích hình phẳng được tính bằng tích phân:

S = ∫₀² x² dx

Bước 4: Tính tích phân

S = [x³/3]₀² = (2³/3) - (0³/3) = 8/3

Vậy diện tích hình phẳng là 8/3 đơn vị diện tích.

Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải

Tính diện tích giữa hai đường cong: Xác định điểm giao nhau của hai đường cong, chọn khoảng tích phân và tính tích phân của hiệu hai hàm số.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục tọa độ: Xác định khoảng tích phân và tính tích phân của hàm số.
Tính diện tích hình phẳng đối xứng: Sử dụng tính đối xứng để đơn giản hóa việc tính toán.

Lưu ý khi giải bài tập về diện tích hình phẳng

Luôn vẽ đồ thị để hình dung rõ hình phẳng cần tính diện tích.
Xác định chính xác giới hạn tích phân.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách ước lượng diện tích hình phẳng.

Tusach.vn – Nguồn tài liệu học tập Toán 12 uy tín

Tusach.vn cung cấp đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trong SGK Toán 12 tập 2, cùng với các bài tập trắc nghiệm và đề thi thử. Chúng tôi luôn cập nhật kiến thức mới nhất và phương pháp giải hiệu quả, giúp các em học sinh đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.

Hãy truy cập Tusach.vn ngay hôm nay để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích khác!