Giải Bài Tập 2.15 Trang 73 SGK Toán 12 Tập 1

Giải bài tập 2.15 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 2.15 trang 73 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và đầy đủ nhất.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là giao điểm của AC và BD. Biết SA = a. SO = h. Xét hệ toạ độ Oxyz với các tia Ox, Oy, Oz tương ứng trùng với các tia OB, OC, OS như ở Hình 2.40. Hãy xác định toạ độ các điểm S, A, B, C, D.

Đề bài

Giải bài tập 2.15 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 2.15 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 2

- Tính khoảng cách từ các đỉnh ABCD đến O.

- Sử dụng tính chất của hình vuông, xác định tọa độ các đỉnh A, B, C, D.

- Dựa vào chiều cao h của hình chóp (tức là độ dài đoạn SO) và độ dài SA = a, sử dụng hệ tọa độ Oxyz để xác định tọa độ của điểm S.

Lời giải chi tiết

Tam giác SOA vuông tại O nên: \(OA = \sqrt {S{A^2} - S{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {h^2}} \)

Vì ABCD là hình vuông nên: \(OA = OB = OC = OD = \sqrt {{a^2} - {h^2}} \)

Toạ độ của các đỉnh A, B, C, D là: \(A = \left( {0, - \sqrt {{a^2} - {h^2}} ,0} \right);B = \left( {\sqrt {{a^2} - {h^2}} ,0,0} \right);C = \left( {0,\sqrt {{a^2} - {h^2}} ,0} \right);D = \left( { - \sqrt {{a^2} - {h^2}} ,0,0} \right)\)

Điểm S có tọa độ \(S({x_S},{y_S},{z_S})\) với z_S = h và SA = a. Do điểm S nằm trên trục Oz, tọa độ của S trong hệ tọa độ Oxyz là (0, 0, h).

Giải Bài Tập 2.15 Trang 73 SGK Toán 12 Tập 1: Chi Tiết và Dễ Hiểu

Bài tập 2.15 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Đề Bài Bài Tập 2.15

Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2. Hãy:

Xác định các điểm cực trị của hàm số.
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời Giải Chi Tiết

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Bước 2: Tính đạo hàm cấp nhất

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 3: Tìm các điểm cực trị

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Bước 4: Xác định loại điểm cực trị

Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:

Khoảng (-∞; 0): Chọn x = -1, f'(-1) = 3(-1)² - 6(-1) = 9 > 0, hàm số đồng biến.
Khoảng (0; 2): Chọn x = 1, f'(1) = 3(1)² - 6(1) = -3 < 0, hàm số nghịch biến.
Khoảng (2; +∞): Chọn x = 3, f'(3) = 3(3)² - 6(3) = 9 > 0, hàm số đồng biến.

Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị

f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2

f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

Vậy, điểm cực đại là (0; 2) và điểm cực tiểu là (2; -2).

Kết Luận

Hàm số y = x³ - 3x² + 2:

Đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là 2.
Đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là -2.
Đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
Nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Mở Rộng và Lưu Ý

Để hiểu sâu hơn về bài toán này, các em có thể tự mình vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả. Ngoài ra, hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về khảo sát hàm số bằng đạo hàm.

Tusach.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài tập 2.15 trang 73 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!