Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 tại tusach.vn. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi tư duy và vận dụng kiến thức.

Với mục tiêu hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em, tusach.vn đã biên soạn và trình bày lời giải bài tập một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các lưu ý quan trọng.

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số $2F(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $2f(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x$ là:

$F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Tính đạo hàm của $2F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x$

Mà $2f(x) = 2x$. Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Vậy $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x$ và một nguyên hàm $G(x)$ của hàm số $g(x) = 3$. Chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x$ và $g(x) = 3$.

- Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) + G(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $f(x) + g(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ là:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}$

trong đó ${C_1}$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3$ là:

$G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}$

trong đó ${C_2}$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x) = 2x + 3$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Tính đạo hàm của $F(x) + G(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3$

Mà $f(x) + g(x) = 2x + 3$.

Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {e^{2x + 1}};$

b) $g(x) = \frac{8}{x}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.

b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng $\frac{1}{x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ được tính như sau:

Trước tiên, ta đổi biến đặt $u = 2x + 1$. Khi đó, $du = 2dx$ hay $dx = \frac{{du}}{2}$. Tích phân của $f(x)$ trở thành:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C$

Thay $u = 2x + 1$ trở lại:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ là:

$F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ được tính như sau: Ta biết rằng:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C$

Do đó:

$\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ là:

$G(x) = 8\ln |x| + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {x^3} - {3^x};$

b) $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$.

Phương pháp giải:

a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với ${x^3}$, áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với ${3^x}$, sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác $e$.

b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với $\frac{1}{x}$, áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với $\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$, nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của ${\csc ^2}x$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^3} - {3^x}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của ${x^3}$:

$\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}$

Tính nguyên hàm của $ - {3^x}$:

$\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là:

$F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

b) Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của $\frac{1}{x}$:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}$

Tính nguyên hàm của $ - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$:

$\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm $t$ tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức $P'(t) = 8t + 30$ (con/tháng), với $P(t)$ là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm $t$ tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

Phương pháp giải:

Tìm hàm số lượng cá thể $P(t)$:

- Biết $P'(t) = 8t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P(t)$, ta tìm $P(t)$ bằng cách lấy tích phân của $P'(t)$ và thêm hằng số tích phân $C$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$.

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$:

- Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết:

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P'(t) = 8t + 30$. Tích phân của $P'(t)$ là:

$P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$, số lượng cá thể là 100:

$P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100$

Do đó, $C = 100$. Vậy hàm số lượng cá thể là:

$P(t) = 4{t^2} + 30t + 100$

Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$:

$P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226$

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};$

b) $h(t) = 2t(t - 3)$.

Phương pháp giải:

- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:

$g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$:

$\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}$

$\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:

$h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $h(t) = 2{t^2} - 6t$:

$\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}$

$\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $h(t)$ là:

$H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ6
LT7
HĐ7
LT8
LT9
VD2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số $2F(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $2f(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x$ là:

$F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Tính đạo hàm của $2F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x$

Mà $2f(x) = 2x$. Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Vậy $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {e^{2x + 1}};$

b) $g(x) = \frac{8}{x}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.

b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng $\frac{1}{x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ được tính như sau:

Trước tiên, ta đổi biến đặt $u = 2x + 1$. Khi đó, $du = 2dx$ hay $dx = \frac{{du}}{2}$. Tích phân của $f(x)$ trở thành:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C$

Thay $u = 2x + 1$ trở lại:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ là:

$F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ được tính như sau: Ta biết rằng:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C$

Do đó:

$\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ là:

$G(x) = 8\ln |x| + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x$ và $g(x) = 3$.

- Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) + G(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $f(x) + g(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ là:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}$

trong đó ${C_1}$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3$ là:

$G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}$

trong đó ${C_2}$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x) = 2x + 3$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Tính đạo hàm của $F(x) + G(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3$

Mà $f(x) + g(x) = 2x + 3$.

Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {x^3} - {3^x};$

b) $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^3} - {3^x}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của ${x^3}$:

$\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}$

Tính nguyên hàm của $ - {3^x}$:

$\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là:

$F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

b) Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của $\frac{1}{x}$:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}$

Tính nguyên hàm của $ - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$:

$\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};$

b) $h(t) = 2t(t - 3)$.

Phương pháp giải:

- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:

$g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$:

$\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}$

$\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:

$h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $h(t) = 2{t^2} - 6t$:

$\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}$

$\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $h(t)$ là:

$H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

Tìm hàm số lượng cá thể $P(t)$:

- Biết $P'(t) = 8t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P(t)$, ta tìm $P(t)$ bằng cách lấy tích phân của $P'(t)$ và thêm hằng số tích phân $C$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$.

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$:

- Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết:

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P'(t) = 8t + 30$. Tích phân của $P'(t)$ là:

$P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$, số lượng cá thể là 100:

$P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100$

Do đó, $C = 100$. Vậy hàm số lượng cá thể là:

$P(t) = 4{t^2} + 30t + 100$

Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$:

$P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226$

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2: Tổng quan và Phương pháp tiếp cận

Mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 thường xoay quanh các chủ đề về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, cụ thể là việc xác định mối quan hệ giữa chúng. Các bài tập trong mục này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng để giải quyết các bài toán về vị trí tương đối, khoảng cách và góc giữa chúng.

Nội dung chi tiết Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2

Bài 1: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp vectơ: Xét các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng. Nếu hai vectơ này cùng phương thì hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ này không cùng phương và không vuông góc thì hai đường thẳng cắt nhau.
Phương pháp phương trình: Giải hệ phương trình đường thẳng. Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau. Nếu hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng song song. Nếu hệ có vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau.

Bài 2: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta thường sử dụng:

Phương pháp vectơ: Xét vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu tích vô hướng của hai vectơ này bằng 0 thì đường thẳng song song hoặc nằm trên mặt phẳng.
Phương pháp phương trình: Thay tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng vào phương trình mặt phẳng. Nếu thỏa mãn phương trình thì đường thẳng nằm trên mặt phẳng. Nếu không thỏa mãn thì đường thẳng cắt hoặc song song với mặt phẳng.

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đường thẳng

Công thức tính khoảng cách:

Khoảng cách từ điểm M(x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng (Ax + By + Cz + D = 0) là: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ: d = d(M, P) / |u| (với P là hình chiếu vuông góc của M lên Δ và u là vectơ chỉ phương của Δ)

Lưu ý quan trọng khi giải bài tập

Khi giải các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, cần chú ý:

Kiểm tra kỹ các giả thiết của bài toán.
Sử dụng đúng công thức và phương pháp.
Biểu diễn các kết quả một cách rõ ràng và chính xác.
Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung bài toán.

Lời giải chi tiết từng bài tập

Dưới đây là lời giải chi tiết từng bài tập trong mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2:

Bài tập	Lời giải
Bài 1	[Lời giải chi tiết bài 1]
Bài 2	[Lời giải chi tiết bài 2]
Bài 3	[Lời giải chi tiết bài 3]

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về các kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Chúc các em học tập tốt!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại liên hệ với tusach.vn để được hỗ trợ nhé!

Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2

HĐ6

HĐ7

LT7

LT8

VD2

LT9

Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2: Tổng quan và Phương pháp tiếp cận

Nội dung chi tiết Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2

Bài 1: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Bài 2: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đường thẳng

Lưu ý quan trọng khi giải bài tập

Lời giải chi tiết từng bài tập

CHỦ ĐỀ SÁCH XEM NHIỀU

VỀ TUSACH.VN