Logo

Giải bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Tổng quan nội dung

Giải Bài Tập 5.21 Trang 64 Toán 12 Tập 2

Bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học giải tích lớp 12. Bài toán này thường liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, tìm cực trị và vẽ đồ thị hàm số.

Tusach.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất và phương pháp giải.

Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là \(A(3;2,5;15)\) và \(B(21;27,5;10)\).

Đề bài

Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là \(A(3;2,5;15)\) và \(B(21;27,5;10)\).

Giải bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline này.

b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét.

Phương pháp giải - Xem chi tiếtGiải bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 2

Phương trình đường thẳng trong không gian:

Đường thẳng đi qua hai điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) và \(B({x_2},{y_2},{z_2})\) có vectơ chỉ phương là:

\(\overrightarrow {AB} = ({x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1})\)

Phương trình tham số của đường thẳng sẽ có dạng:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1} + t({x_2} - {x_1})}\\{y = {y_1} + t({y_2} - {y_1})}\\{z = {z_1} + t({z_2} - {z_1})}\end{array}} \right.\)

trong đó \(t\) là tham số.

Xác định tọa độ của một điểm trên đường thẳng khi biết chiều cao \(z\):

Dùng phương trình tham số của đường thẳng để thay giá trị \(z = 12\), từ đó tính \(t\). Sử dụng giá trị \(t\) để tìm tọa độ \(x\) và \(y\).

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.

Tọa độ điểm A là \(A(3;2,5;15)\) và tọa độ điểm B là \(B(21;27,5;10)\).

Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:

\(\overrightarrow {AB} = (21 - 3,27,5 - 2,5,10 - 15) = (18,25, - 5)\)

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 18t}\\{y = 2,5 + 25t}\\{z = 15 - 5t}\end{array}} \right.\)

Đây là phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.

b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét. Biết \(z = 12\), thay vào phương trình tham số của z:

\(12 = 15 - 5t\)

Giải phương trình:

\(5t = 15 - 12 = 3\quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{5}\)

Thay \(t = \frac{3}{5}\) vào các phương trình tham số của x và y:

\(x = 3 + 18 \times \frac{3}{5} = 3 + 10,8 = 13,8\)

\(y = 2,5 + 25 \times \frac{3}{5} = 2,5 + 15 = 17,5\)

Vậy tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét là \((13,8;17,5;12)\).

Giải Bài Tập 5.21 Trang 64 SGK Toán 12 Tập 2: Phân Tích Chi Tiết và Hướng Dẫn Giải

Bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các vấn đề liên quan đến hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

  1. Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
  2. Tính đạo hàm cấp nhất: Sử dụng các quy tắc đạo hàm để tìm đạo hàm f'(x).
  3. Tìm điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  4. Khảo sát dấu của đạo hàm: Lập bảng xét dấu f'(x) để xác định khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến.
  5. Tìm cực trị: Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm để xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
  6. Tính đạo hàm cấp hai (nếu cần): Sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định tính lồi, lõm của đồ thị hàm số.
  7. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã thu thập để vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa (Giả sử bài tập 5.21 là hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2)

Để minh họa, chúng ta sẽ giải bài tập với hàm số giả định y = x^3 - 3x^2 + 2. (Lưu ý: Bài tập thực tế có thể khác, hãy thay thế bằng đề bài chính xác)

  1. Tập xác định: D = R (hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực)
  2. Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x^2 - 6x
  3. Điểm tới hạn: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
  4. Bảng xét dấu đạo hàm:
    x-∞02+∞
    y'+-+
    yĐồng biếnNghịch biếnĐồng biến
  5. Cực trị:
    • x = 0: Điểm cực đại, y = 2
    • x = 2: Điểm cực tiểu, y = -2
  6. Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
  7. Tính lồi lõm: y'' = 0 => x = 1. Khi x < 1, y'' < 0 (lõm). Khi x > 1, y'' > 0 (lồi).

Lưu ý quan trọng khi giải bài tập

  • Luôn kiểm tra lại các bước tính toán để tránh sai sót.
  • Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm và các khái niệm liên quan.
  • Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.
  • Luyện tập thường xuyên để nắm vững phương pháp giải.

Tusach.vn – Đồng hành cùng bạn học Toán 12

Tusach.vn luôn cập nhật lời giải chi tiết và chính xác các bài tập trong SGK Toán 12 tập 2. Chúng tôi hy vọng rằng với những hướng dẫn này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán và đạt kết quả tốt trong môn Toán.

Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi để được hỗ trợ!