Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB).
c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha )\): Ax + By + Cz + D = 0 là:
\(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
b) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\). Kí hiệu \(\left( {d,(\alpha )} \right)\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\). Khi đó:
\(\sin (d,(\alpha )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}A + {a_2}B + {a_3}C} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
c) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa \((\alpha )\) và \((\beta )\), kí hiệu là \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right)\) được tính theo công thức:
\(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBD)\).
Véc-tơ \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\):
\({\vec n_{(SBD)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (6;2;3)\)
Phương trình mặt phẳng \((SBD)\): \(6.(x - 0) + 2.(y - 0) + 3.(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2y + 3z - 6 = 0\).
Khoảng cách từ \(A(0,0,0)\) đến mặt phẳng \((SBD)\):
\(d = \frac{{|6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6|}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {49} }} = \frac{6}{7}\)
b) Tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\).
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SA} = (0;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là:
\({\vec n_{(SAB)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).0;( - 2).1 - 0.( - 2);0.0 - 0.1) = (0; - 2;0)\)
- Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng SD là \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
Để tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\), ta sử dụng công thức:
\(\sin \theta = \frac{{|\overrightarrow {SD} \cdot {{\vec n}_{(SAB)}}|}}{{\left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right|}}\)
- Tích vô hướng \(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}}\):
\(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}} = 0.0 + 3.( - 2) + ( - 2).0 = 0 - 6 + 0 = - 6\)
- Độ dài của \(\overrightarrow {SD} \) và \({\vec n_{(SAB)}}\):
\(\left| {\overrightarrow {SD} } \right| = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {0 + 9 + 4} = \sqrt {13} \)
\(\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 2)}^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
Vậy: \(\sin \theta = \frac{{| - 6|}}{{\sqrt {13} .2}} = \frac{6}{{2\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)
c) Tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((SCD)\).
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SC} = (1;3; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\):
\({\vec n_{(SBC)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).3;( - 2).1 - 1.( - 2);1.3 - 0.1) = (6;0;3)\)
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SCD)\):
\({\vec n_{(SCD)}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (3 \cdot ( - 2) - ( - 2).3;( - 2).0 - ( - 2).1;3.1 - 3.0) = (0;2;3)\)
Để tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng, ta dùng công thức:
\(\cos \alpha = \frac{{|{{\vec n}_{(SBC)}} \cdot {{\vec n}_{(SCD)}}|}}{{\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right|}}\)
- Tích vô hướng \({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}}\):
\({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}} = 6.0 + 0.2 + 3.3 = 0 + 0 + 9 = 9\)
- Độ dài của \({\vec n_{(SBC)}}\) và \({\vec n_{(SCD)}}\):
\(\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| = \sqrt {{6^2} + {0^2} + {3^2}} = \sqrt {36 + 0 + 9} = \sqrt {45} \)
\(\left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {0 + 4 + 9} = \sqrt {13} \)
Vậy: \(\cos \alpha = \frac{{|7|}}{{\sqrt {13} \cdot \sqrt {45} }} = \frac{7}{{\sqrt {585} }}\)
