Đề bài
Cho tứ diện OABC có \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\), (\(a > 0,b > 0,c > 0\)). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là các góc giữa các mặt phẳng \((OAB)\), \((OBC)\), \((OAC)\) với mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:
\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \((OAB),(OBC),(OAC)\) và \((ABC)\), sau đó áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cosin của góc giữa các vectơ pháp tuyến.
Lời giải chi tiết
Độ dài của các vectơ pháp tuyến:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAB)\): \(\overrightarrow {{n_{OAB}}} = \overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {OB} = (a,0,0) \times (0,b,0) = (0,0,ab)\).
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OBC)\): \(\overrightarrow {{n_{OBC}}} = \overrightarrow {OB} \times \overrightarrow {OC} = (0,b,0) \times (0,0,c) = (bc,0,0)\).
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAC)\): \(\overrightarrow {{n_{OAC}}} = \overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {OC} = (a,0,0) \times (0,0,c) = (0,ac,0)\).
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\):
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = ( - a,b,0) \times ( - a,0,c) = (bc,ac,ab)\).
Tính cosin của các góc:
- \(\cos \alpha = \frac{{|ab \cdot ab|}}{{ab \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{ab \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\).
- \(\cos \beta = \frac{{|bc \cdot bc|}}{{bc \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\).
- \(\cos \gamma = \frac{{|ac \cdot ac|}}{{ac \cdot \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }} = \frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}\).
Tổng các bình phương:
\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = {\left( {\frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{bc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}} }}} \right)^2}\)
\( = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} + \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} + \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}}.\)
\( = \frac{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2}}} = 1.\)
Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = 1.\)
