Giải Bài Tập 5.37 Trang 84 Toán 12 Tập 2

Giải bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

tusach.vn sẽ giúp các em hiểu rõ cách giải bài tập này một cách nhanh chóng và hiệu quả nhất.

Cho mặt phẳng (\(\alpha \)): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2). a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\beta \)) chứa điểm M và song song với (\(\alpha \)). b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (\(\alpha \)).

Đề bài

Cho mặt phẳng (\(\alpha \)): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2).

a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\beta \)) chứa điểm M và song song với (\(\alpha \)).

b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (\(\alpha \)).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

a) Mặt phẳng \((\beta )\) song song với \((\alpha )\) nên sẽ có cùng vectơ pháp tuyến với \((\alpha )\).

b) Khoảng cách từ một điểm \(M({x_0},{y_0},{z_0})\) đến mặt phẳng có phương trình \(ax + by + cz + d = 0\) được tính bằng công thức:

\(d = \frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng \((\alpha ):2x - y + 2z + 11 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2, - 1,2)\).

Vì mặt phẳng \((\beta )\) song song với \((\alpha )\), nên nó cũng có cùng vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2, - 1,2)\). Do đó, phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) có dạng:

\(2x - y + 2z + D = 0\)

trong đó D là hằng số cần tìm. Vì \((\beta )\) chứa điểm \(M(1; - 1;2)\), ta thay tọa độ của M vào phương trình của \((\beta )\):

\(2 \cdot 1 - ( - 1) + 2 \cdot 2 + D = 0\)

\(2 + 1 + 4 + D = 0\)

\(7 + D = 0 \Rightarrow D = - 7\)

Vậy phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) là:

\(2x - y + 2z - 7 = 0\)

Khoảng cách từ điểm \(M(1; - 1;2)\) đến mặt phẳng \((\alpha ):2x - y + 2z + 11 = 0\) được tính bằng công thức:

\(d = \frac{{|2 \cdot 1 - ( - 1) + 2 \cdot 2 + 11|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} }}\) \(2 \cdot 1 + 1 + 2 \cdot 2 + 11 = 2 + 1 + 4 + 11 = 18\)

\(\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} = \sqrt {4 + 1 + 4} = \sqrt 9 = 3\)

Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \((\alpha )\) là:

\(d = \frac{{18}}{3} = 6\)

Giải Bài Tập 5.37 Trang 84 Toán 12 Tập 2: Chi Tiết và Dễ Hiểu

Bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số: Hàm số bậc ba thường có tập xác định là R (tập hợp tất cả các số thực).
Tính đạo hàm bậc nhất và tìm điểm cực trị: Đạo hàm bậc nhất giúp ta tìm các điểm mà hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu. Giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0 để tìm các điểm này.
Tính đạo hàm bậc hai và xét tính lồi lõm: Đạo hàm bậc hai giúp ta xác định khoảng mà hàm số lồi lên hoặc lõm xuống.
Tìm giao điểm với các trục tọa độ: Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox (x = 0) và trục Oy (y = 0).
Lập bảng biến thiên: Tổng hợp các thông tin đã tính được vào bảng biến thiên để có cái nhìn tổng quan về sự biến đổi của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào bảng biến thiên và các thông tin đã có, vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.

Ví dụ minh họa giải bài tập 5.37

Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x³ - 3x² + 2

Bước 1: Tập xác định

Tập xác định của hàm số là D = R.

Bước 2: Đạo hàm bậc nhất và tìm điểm cực trị

y' = 3x² - 6x

Giải phương trình y' = 0, ta được: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2

Vậy hàm số có hai điểm cực trị: x₁ = 0 và x₂ = 2

Bước 3: Đạo hàm bậc hai và xét tính lồi lõm

y'' = 6x - 6

Tại x = 0, y'' = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0

Tại x = 2, y'' = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Bước 4: Tìm giao điểm với các trục tọa độ

Giao điểm với trục Oy: x = 0 => y = 2. Vậy giao điểm là (0, 2)

Giao điểm với trục Ox: y = 0 => x³ - 3x² + 2 = 0 => (x - 1)(x² - 2x - 2) = 0 => x = 1 hoặc x = 1 ± √3. Vậy giao điểm là (1, 0), (1 + √3, 0), (1 - √3, 0)

Bước 5: Lập bảng biến thiên

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	0	-	0	+
y	↗	2	↘	-2	↗

Bước 6: Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào bảng biến thiên và các giao điểm đã tìm được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Lưu ý khi giải bài tập khảo sát hàm số

Luôn kiểm tra kỹ các bước tính toán để tránh sai sót.
Sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ tính toán.
Nắm vững các khái niệm về đạo hàm, cực trị, tính lồi lõm.
Thực hành nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!