Giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2

Giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về Đạo hàm của hàm số. Tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, giúp các em hiểu rõ kiến thức và làm bài tập hiệu quả.

Chúng tôi sẽ cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng và những lưu ý quan trọng để các em có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\); b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 3\), \(x = 4\).

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\);

b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 3\), \(x = 4\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = f(x)\) và trục hoành trên đoạn \([a,b]\) được tính bằng công thức tích phân:

\(A = \int_a^b | f(x) - 0|{\mkern 1mu} dx = \int_a^b f (x){\mkern 1mu} dx\)

Nếu có hai đường cong \({y_1}(x)\) và \({y_2}(x)\), diện tích hình phẳng giữa hai đường này trên đoạn \([a,b]\) là:

\(A = \int_a^b | {y_1}(x) - {y_2}(x)|{\mkern 1mu} dx\)

Lời giải chi tiết

Diện tích \(A\) được tính bằng tích phân:

\(A = \int_0^2 {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)

Tính nguyên hàm của \({2^x}\):

\(\int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\)

Do đó:

\(A = \left[ {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right]_0^2 = \frac{{{2^2}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} = \frac{4}{{\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}}\)

Vậy diện tích cần tìm là:

\(A = \frac{3}{{\ln 2}}\)

Ta cần tính tích phân của hiệu giữa hai hàm \({y_1}(x) = 12 - {x^2}\) và \({y_2}(x) = - x\) trên đoạn \([ - 3,4]\). Diện tích \(A\) là:

\(A = \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} - \left( { - x} \right)} \right|dx = } \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} + x} \right|dx} = \int_{ - 3}^4 {\left( {12 - {x^2} + x} \right)dx} \)

Tính nguyên hàm:

\(\int {(12 - {x^2} + x)} {\mkern 1mu} dx = 12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\)

Thay cận \( - 3\) và \(4\):

\(A = \left[ {12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 3}^4 = \frac{{104}}{3} - \frac{{ - 45}}{2} = \frac{{343}}{6}\)

Vậy diện tích là:

\(A = \frac{{343}}{6}\).

Giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2: Đạo hàm và ứng dụng

Bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2

Bài tập 4.28 yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2

Tính đạo hàm f'(x):
f'(x) = 3x² - 6x
Tìm các điểm cực trị của hàm số:
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x² - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:
- Khoảng (-∞; 0): f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
- Khoảng (0; 2): f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
- Khoảng (2; +∞): f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.
f(0) = 2 (cực đại)
f(2) = -2 (cực tiểu)
Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:
Dựa vào dấu của f'(x), ta có:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm

Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
Sử dụng đúng các công thức đạo hàm cơ bản.
Phân tích kỹ dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.

Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Tính vận tốc và gia tốc trong vật lý.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong kinh tế.
Xác định tốc độ thay đổi của một đại lượng trong các lĩnh vực khác nhau.

Hy vọng lời giải chi tiết bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó. Chúc các em học tập tốt!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trong phần bình luận bên dưới. Tusach.vn luôn sẵn sàng hỗ trợ các em.