Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3\)
b) \(y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - 3{x^2} + 4x + 4 = 0 \leftrightarrow x = 2{\rm{ }}\)hoặc \(x = - \frac{2}{3}\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty - \frac{2}{3})\) và \((2; + \infty )\), đồng biến trên khoảng \(( - \frac{2}{3};2)\).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - \frac{2}{3},{y_{CT}} = - \frac{{121}}{{27}}.\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} = 5.\)
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 3)\).
Giao điểm với trục Ox là \((3,0)\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0} \right),\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0} \right)\).
b)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty .\)
Ta có:
\({y^\prime } = {x^2} - 2x + 1\)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \leftrightarrow x = 1\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên R
Cực trị: Vì hàm số đồng biến trên R nên hàm số không có điểm cực trị
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là (0,1).
Giao điểm với trục Ox là (−0.5874,0).
