Bài 4. Phương trình mặt cầu

Bài 4. Phương trình mặt cầu

Trong chương trình Hình học không gian lớp 11, phương trình mặt cầu là một chủ đề quan trọng, giúp chúng ta mô tả và nghiên cứu các tính chất của mặt cầu trong hệ tọa độ.

1. Định nghĩa mặt cầu và các yếu tố cơ bản

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có cùng khoảng cách đến một điểm cố định gọi là tâm của mặt cầu. Khoảng cách này gọi là bán kính của mặt cầu.

Ký hiệu: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

2. Phương trình chính tắc của mặt cầu

Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R là:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²

Trong đó:

• x, y, z là tọa độ của một điểm bất kỳ trên mặt cầu.
• a, b, c là tọa độ của tâm mặt cầu.
• R là bán kính của mặt cầu.

3. Phương trình tổng quát của mặt cầu

Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:

x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

Điều kiện để phương trình này là phương trình của một mặt cầu là:

a² + b² + c² - d > 0

Khi đó, tâm của mặt cầu là I(a; b; c) và bán kính là R = √(a² + b² + c² - d)

4. Các dạng bài tập thường gặp

• Bài tập 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu khi cho phương trình.
• Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.
• Bài tập 3: Xác định điều kiện để phương trình là phương trình của một mặt cầu.
• Bài tập 4: Tìm giao điểm của mặt cầu và đường thẳng.
• Bài tập 5: Tìm giao điểm của hai mặt cầu.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 9.

Giải: Tâm của mặt cầu là I(1; -2; 3) và bán kính là R = √9 = 3.

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 0; 0) và bán kính R = 5.

Giải: Phương trình mặt cầu là x² + y² + z² = 25.

6. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:

1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình x² + y² + z² - 4x + 2y - 6z + 5 = 0.
2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; -1; 3) và đi qua điểm A(1; 0; 1).
3. Chứng minh rằng phương trình x² + y² + z² + 2x - 4y + 6z + 14 = 0 không phải là phương trình của một mặt cầu.

7. Kết luận

Bài học về phương trình mặt cầu đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến mặt cầu một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.

Chúc bạn học tốt!