Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\)
b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\)
c)\(y = - x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)
d)\(y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết
a)
- Tập xác định: D = R \ {-1}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{{{(x + 1)}^2} + 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \)
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \]
Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x + 1) + 0 = \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x + 1) + 0 = - \infty \)
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của hàm số
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x + 2)(x + 1) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} + 2x \leftrightarrow x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x = - 2\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 2\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2,{y_{CD}} = - 2\)
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng \({\rm{x}} = - 1\), tiệm cận xiên \(y = x + 1\)
Giao điểm với trục Oy là \((0,2)\)
b)
- Tập xác định: D = R \ {2}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \)
Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \)
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\)
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x - 2}} \to 0\) nên \(y = x\) là tiệm cận xiên của hàm số
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\)
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2,\(\infty \)).
Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.
Giao điểm với trục Oy là (0,\(\frac{3}{2}\))
Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0)
c)
- Tập xác định: D = R \ {-1}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = - \infty \)
Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty \)
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = - x - 1\) là tiệm cận xiên của hàm số
Ta có: \({y^\prime } = - 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\forall x \in D\)
Vậy hàm số nghịch biến trên tập xác định
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-\(\infty \),-1).và (-1,\(\infty \)).
Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y =- x-1.
Đi qua gốc toạ độ O(0,0) và giao với trục hoành tại điểm (-2,0)
d)
- Tập xác định: D = R \ {1}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{(2x + 1)(x - 1) + 2}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x - 1 + \frac{2}{{1 - x}}} \right) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty \)
Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty \)
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{2}{{1 - x}} \to 0\) nên \(y = - 2x - 1\) là tiệm cận xiên của hàm số
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(4x - 1)(1 - x) + (2{x^2} - x + 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{{{(1 - x)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = 2\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-\(\infty \),0) và (2,\(\infty \)), đồng biến trên khoảng (0,1) và (1,2).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 1\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} = - 7\)
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y =-2x-1.
Giao điểm với trục Oy là (0,1)
