Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3: Đường Tiệm Cận của Đồ Thị Hàm Số

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp chúng ta phác thảo chính xác hình dạng của đồ thị và phân tích hành vi của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc một giá trị cụ thể.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

• Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
• Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
• Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] = 0.

2. Cách tìm tiệm cận đứng

Để tìm tiệm cận đứng, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Xác định các giá trị x mà hàm số không xác định.
3. Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới các giá trị đó. Nếu giới hạn là vô cùng, thì đó là tiệm cận đứng.

Ví dụ: Tìm tiệm cận đứng của hàm số y = 1/(x - 2).

Hàm số không xác định khi x = 2. Ta có:

lim_x→2⁺ 1/(x - 2) = +∞ và lim_x→2^- 1/(x - 2) = -∞.

Vậy, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số.

3. Cách tìm tiệm cận ngang

Để tìm tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng và âm vô cùng.

Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang của hàm số y = (2x + 1)/(x + 1).

lim_x→+∞ (2x + 1)/(x + 1) = 2 và lim_x→-∞ (2x + 1)/(x + 1) = 2.

Vậy, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của hàm số.

4. Cách tìm tiệm cận xiên

Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính a = lim_x→+∞ f(x)/x hoặc a = lim_x→-∞ f(x)/x. Nếu a ≠ 0, thì hàm số có tiệm cận xiên.
2. Tính b = lim_x→+∞ [f(x) - ax] hoặc b = lim_x→-∞ [f(x) - ax].
3. Phương trình tiệm cận xiên là y = ax + b.

Ví dụ: Tìm tiệm cận xiên của hàm số y = (x² + 1)/x.

a = lim_x→+∞ (x² + 1)/x = +∞ (không thỏa mãn điều kiện a ≠ 0). Tuy nhiên, ta có thể viết lại hàm số thành y = x + 1/x.

Khi đó, a = 1 và b = lim_x→+∞ (x + 1/x - x) = 0.

Vậy, đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của hàm số.

5. Bài tập vận dụng

Hãy tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của các hàm số sau:

• y = (x + 3)/(x - 1)
• y = (2x² - 1)/(x² + 2)
• y = (x³ + 2x)/(x² - 1)

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Chúc bạn học tốt!