Giải Bài Tập 5.19 Trang 64 SGK Toán 12 Tập 2

Giải bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về tích phân và thường gây khó khăn cho nhiều học sinh.

Tusach.vn sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải, các bước thực hiện và áp dụng kiến thức vào các bài tập tương tự.

Chứng minh ba đường thẳng sau đây đôi một vuông góc: \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 + 2t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\quad {d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2m}\\{y = 1 - m{\mkern 1mu} (m \in \mathbb{R})}\\{z = 2 + m}\end{array}} \right.\quad {d_3}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\)

Đề bài

Chứng minh ba đường thẳng sau đây đôi một vuông góc:

\({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 3 + 2t{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.\quad {d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2m}\\{y = 1 - m{\mkern 1mu} (m \in \mathbb{R})}\\{z = 2 + m}\end{array}} \right.\quad {d_3}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\), và \({d_3}\). Kiểm tra điều kiện vuông góc của các vectơ chỉ phương bằng tích vô hướng: nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc.

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của \({d_1}\): \(\overrightarrow {{u_1}} = ( - 1,2,4)\)

Vectơ chỉ phương của \({d_2}\): \(\overrightarrow {{u_2}} = (2, - 1,1)\)

Vectơ chỉ phương của \({d_3}\): \(\overrightarrow {{u_3}} = (2,3, - 1)\)

Kiểm tra vuông góc:

- \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc: \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) + 4 \cdot 1 = - 2 - 2 + 4 = 0\)

Vậy \({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\).

- \({d_1}\) và \({d_3}\) vuông góc: \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot ( - 1) = - 2 + 6 - 4 = 0\)

Vậy \({d_1}\) vuông góc với \({d_3}\).

- \({d_2}\) và \({d_3}\) vuông góc: \(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 2 \cdot 2 + ( - 1) \cdot 3 + 1 \cdot ( - 1) = 4 - 3 - 1 = 0\)

Vậy \({d_2}\) vuông góc với \({d_3}\).

Kết luận: Ba đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\), \({d_3}\) đôi một vuông góc.

Giải Bài Tập 5.19 Trang 64 SGK Toán 12 Tập 2: Hướng Dẫn Chi Tiết

Bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững kiến thức về tích phân xác định và cách xác định giới hạn tích phân.

Đề Bài:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² và y = 2x.

Phân Tích Bài Toán:

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Tìm giao điểm của hai đường cong: Giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm.
Xác định giới hạn tích phân: Sử dụng hoành độ giao điểm làm giới hạn tích phân.
Xác định hàm số cần tích phân: Xác định hàm số nào có giá trị lớn hơn trên khoảng tích phân.
Tính tích phân: Tính tích phân xác định để tìm diện tích hình phẳng.

Lời Giải Chi Tiết:

Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường cong

Giải hệ phương trình:

{ y = x², y = 2x }

Thay y = x² vào phương trình thứ hai, ta được:

x² = 2x

x² - 2x = 0

x(x - 2) = 0

Vậy x = 0 hoặc x = 2.

Khi x = 0, y = 0. Khi x = 2, y = 4.

Vậy giao điểm của hai đường cong là (0, 0) và (2, 4).

Bước 2: Xác định giới hạn tích phân

Giới hạn tích phân là từ 0 đến 2.

Bước 3: Xác định hàm số cần tích phân

Trên khoảng (0, 2), 2x > x². Do đó, hàm số cần tích phân là 2x - x².

Bước 4: Tính tích phân

Diện tích hình phẳng là:

∫₀² (2x - x²) dx = [x² - (x³/3)]₀² = (2² - (2³/3)) - (0² - (0³/3)) = 4 - 8/3 = 4/3

Kết Luận:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² và y = 2x là 4/3.

Lưu Ý Quan Trọng:

Luôn vẽ đồ thị của các hàm số để hình dung rõ hơn về hình phẳng cần tính diện tích.
Kiểm tra kỹ các bước tính toán để tránh sai sót.
Nắm vững các công thức tích phân cơ bản.

Bài Tập Tương Tự:

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Toán 12 tập 2.

Tusach.vn – Đồng Hành Cùng Các Em Trên Con Đường Học Tập

Tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi để được hỗ trợ.