Đề bài
Cho bốn điểm A(−2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; −1), D(1; 4; 0).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra A.BCD là một hình chóp.
b) Tính chiều cao AH của hình chóp A.BCD.
c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Phương trình mặt phẳng có dạng:
\({n_1}(x - {x_0}) + {n_2}(y - {y_0}) + {n_3}(z - {z_0}) = 0\)
Trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm trong mặt phẳng (ví dụ: điểm \(B(1,0,6)\)), và \(({n_1},{n_2},{n_3})\) là tọa độ của véc-tơ pháp tuyến.
b) Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến mặt phẳng (BCD).
Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) là:
\(d = \frac{{|A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
c) Để mặt phẳng chứa AB và song song với CD, ta cần tìm một phương trình mặt phẳng sao cho:
1. Mặt phẳng chứa AB, tức là \(\overrightarrow {AB} \) là một véc-tơ trong mặt phẳng.
2. Mặt phẳng song song với CD, tức là điểm C và D đều không thuộc mặt phẳng và song song vectơ tạo bởi hai điểm này song song với \(\overrightarrow {AB} \).
Lời giải chi tiết
a)
Tính hai véc-tơ trong mặt phẳng (BCD):
\(\overrightarrow {BC} = C - B = (0 - 1;2 - 0; - 1 - 6) = ( - 1;2; - 7)\)
\(\overrightarrow {BD} = D - B = (1 - 1;4 - 0;0 - 6) = (0;4; - 6)\)
Véc-tơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng \((BCD)\) là tích có hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \):
\(\vec n = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = (2.( - 6) - 4.( - 7);\,\,\, - 7.0 - ( - 1).( - 6);\,\,\,( - 1).4 - 2.0) = (16; - 6; - 4)\)
Phương trình mặt phẳng (BCD):
\(16(x - 1) - 6(y - 0) - 4(z - 6) = 0\)
\(16x - 16 - 6y - 4z + 24 = 0\)
\(16x - 6y - 4z + 8 = 0\)
Thay điểm A vào phương trình mặt phẳng (BCD):
\(16.( - 2) - 6.6 - 4.3 + 8 = - 72 \ne 0\)
Vậy điểm A không thuộc phương trình mặt phẳng (BCD) nên A.BCD là một hình chóp.
b)
Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến mặt phẳng (BCD).
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD):
\(d = \frac{{|16.( - 2) - 6.6 - 4.3 + 8|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{( - 6)}^2} + {{( - 4)}^2}} }}\)
\(d = \frac{{| - 72|}}{{\sqrt {308} }} = \frac{{72}}{{2\sqrt {77} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}\)
c)
Tính \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (1 - ( - 2);0 - 6;6 - 3) = (3; - 6;3)\)
\(\overrightarrow {CD} = D - C = (1 - 0;4 - 2;0 - ( - 1)) = (1;2;1)\)
Mặt phẳng này chứa \(\overrightarrow {AB} \) và song song với \(\overrightarrow {CD} \), do đó, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \):
\(\vec n = (( - 6).1 - 3.2;3.1 - 3.1;3.2 - ( - 6).1) = ( - 12;0;12)\)
Phương trình mặt phẳng \((a)\) là:
\( - 12(x - 1) + 0(y - 0) + 12(z - 6) = 0\)
\( - 12x + 12z = 60\)
\(x - z = - 5\)
