Giải Bài Tập 5.24 Trang 70 Toán 12 Tập 2

Giải bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình học. Bài tập này thường liên quan đến việc ứng dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Tusach.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp và tự tin làm bài.

Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

- Đối với phương trình chính tắc \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\), vector chỉ phương của đường thẳng cũng là \(\vec u = (a,b,c)\).

- Góc giữa hai đường thẳng có vector chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = ({a_1},{b_1},{c_1})\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = ({a_2},{b_2},{c_2})\) được tính bởi:

\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} }}{{|\overrightarrow {{u_1}} ||\overrightarrow {{u_2}} |}}\)

Lời giải chi tiết

Vector chỉ phương của đường thẳng d là \(\vec u = (2,1,1)\).

Góc giữa đường thẳng và trục Ox:

Tích vô hướng giữa \(\vec u = (2,1,1)\) và \(\vec i = (1,0,0)\):

\(\vec u \cdot \vec i = 2 \times 1 + 1 \times 0 + 1 \times 0 = 2\)

Độ dài \(|\vec u| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6 ,\quad |\vec i| = 1\).

\(\cos \theta = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Suy ra \({\theta _{Ox}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right) \approx 35^\circ \).

Góc giữa đường thẳng và trục Oy:

Tích vô hướng giữa \(\vec u\) và \(\vec j = (0,1,0)\):

\(\vec u \cdot \vec j = 2 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 1\)

\(\cos \theta = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Suy ra \({\theta _{Oy}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right) \approx 65^\circ \).

Góc giữa đường thẳng và trục Oz:

Tích vô hướng giữa \(\vec u\) và \(\vec k = (0,0,1)\):

\(\vec u \cdot \vec k = 2 \times 0 + 1 \times 0 + 1 \times 1 = 1\)

\(\cos \theta = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Suy ra \({\theta _{Oz}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right) \approx 65^\circ \).

Giải Bài Tập 5.24 Trang 70 SGK Toán 12 Tập 2: Chi Tiết và Dễ Hiểu

Bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 thường xoay quanh việc tìm cực trị của hàm số hoặc giải các bài toán tối ưu hóa. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm cách tính đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Phân Tích Đề Bài và Xác Định Yêu Cầu

Trước khi bắt tay vào giải bài tập, điều quan trọng nhất là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Ví dụ, đề bài có thể yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước, hoặc tìm điều kiện để hàm số có cực trị. Việc xác định đúng yêu cầu của bài toán sẽ giúp chúng ta lựa chọn phương pháp giải phù hợp.

Phương Pháp Giải Bài Tập 5.24

Thông thường, để giải bài tập 5.24, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp nhất (f'(x)) của hàm số.
Tìm các điểm dừng (x sao cho f'(x) = 0).
Xét dấu đạo hàm cấp nhất để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tính đạo hàm cấp hai (f''(x)).
Kiểm tra điều kiện cực trị bằng cách xét dấu đạo hàm cấp hai tại các điểm dừng. Nếu f''(x) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x, nếu f''(x) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Ví Dụ Minh Họa

Giả sử bài tập 5.24 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

f'(x) = 3x² - 6x
3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu f'(x):

x < 0: f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)
0 < x < 2: f'(x) < 0 (hàm số nghịch biến)
x > 2: f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)

f''(x) = 6x - 6
f''(0) = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0, f(0) = 2
f''(2) = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, f(2) = -2
f(-1) = -6, f(3) = 2

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 2 (đạt được tại x = 0 và x = 3), giá trị nhỏ nhất của hàm số là -6 (đạt được tại x = -1).

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải bài tập 5.24, cần lưu ý một số điểm sau:

Kiểm tra kỹ điều kiện xác định của hàm số.
Sử dụng đúng các công thức đạo hàm.
Phân tích kỹ kết quả để đưa ra kết luận chính xác.

Tusach.vn – Đồng Hành Cùng Bạn Học Toán 12

Tusach.vn luôn đồng hành cùng các bạn học sinh trong quá trình học tập môn Toán 12. Chúng tôi cung cấp đầy đủ các tài liệu học tập, bài giảng, bài tập và lời giải chi tiết, giúp các bạn nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất. Hãy truy cập Tusach.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu hữu ích khác!

Giải bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá