Đề bài
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(d\) và \(d'\) cho bởi các phương trình sau:
a) \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 6}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 20}}{1}\);
b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t\,\,\,\,\,{\mkern 1mu} (t \in \mathbb{R})}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t'}\\{y = - 1 + 2t'{\mkern 1mu} (t' \in \mathbb{R})}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\);
c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 - 2t{\mkern 1mu} \,\,\,\,\,(t \in \mathbb{R})}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và \(d':\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
1. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng d và d'.
2. Kiểm tra xem các vectơ chỉ phương có tỉ lệ với nhau không để xác định đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
3. Nếu không song song, kiểm tra xem hai đường thẳng có giao nhau không bằng cách tìm điểm chung.
4. Nếu không có điểm chung, thì hai đường thẳng chéo nhau.
Lời giải chi tiết
a)
Phương trình đường thẳng d:
\(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 6}}{4}\)
Tọa độ điểm thuộc d: \(A( - 3; - 2;6)\) Vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;3;4)\)
Phương trình đường thẳng d':
\(\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 20}}{1}\)
Tọa độ điểm thuộc d’: \(B(5; - 1;20)\) Vectơ chỉ phương của d’: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (1; - 4;1)\)
So sánh hai vectơ chỉ phương:
\(\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 4}}\)
Hai vectơ không tỉ lệ. Do đó, d và d' không song song.
Kiểm tra điểm chung:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 + 2t = 5 + t'}\\{ - 2 + 3t = - 1 - 4t'}\\{6 + 4t = 20 + t'}\end{array}} \right.\)
Với \(t = 3\) và \(t' = - 2\) thì ta được điểm \(M(3;7;18)\) là giao điểm của d và d’
Vậy, d và d’ là cắt nhau.
b)
Phương trình đường thẳng d:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\)
Tọa độ điểm thuộc d: \(A(1,2,3)\), vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}} = (1,1, - 1)\)
Phương trình đường thẳng d':
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t'}\\{y = - 1 + 2t'}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\)
Tọa độ điểm thuộc d': \(B(1, - 1,2)\), vectơ chỉ phương của d': \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (2,2, - 2)\)
So sánh hai vectơ chỉ phương:
\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}}\)
Nhận thấy d và d’ không có điểm chung nên hai đường thẳng này song song với nhau.
c)
Phương trình đường thẳng d:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)
Tọa độ điểm thuộc d: \(A(1,3,1)\) Vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}} = (1, - 2,0)\)
Phương trình đường thẳng d’:
\(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\)
Tọa độ điểm thuộc d’: \(B(1,2,0)\) Vectơ chỉ phương của d’: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 1,2,3)\)
So sánh hai vectơ chỉ phương:
\(\frac{1}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{2} \ne \frac{0}{3}\)
Hai vectơ không tỉ lệ. Do đó, d và d' không song song.
Kiểm tra điểm chung:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 1 - t'}\\{3 - 2t = 2 + 2t'}\\{1 = 3t'}\end{array}} \right.\)
Giải hệ phương trình của hai đường thẳng, không tìm được điểm chung
Vậy, d và d’ là chéo nhau.
