Đề bài
Cho mặt phẳng \((\alpha )\): 2x + y − 3z + 8 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với
mặt phẳng \((\alpha )\)?
A. x – 3y + 3z – 7 = 0
B. 3x – 3y + z – 7 = 0
C. x + 2y – z – 8 = 0
D. x – 2y + z + 8 = 0
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai mặt phẳng \({P_1}\) và \({P_2}\) vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0: \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0\)
Lời giải chi tiết
* Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha :2x + y - 3z + 8 = 0\). Vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = (2,1, - 3)\).
* Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng trong các lựa chọn:
- Mặt phẳng \(A:x - 3y + 3z - 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = (1, - 3,3)\).
- Mặt phẳng \(B:3x - 3y + z - 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}} = (3, - 3,1)\).
- Mặt phẳng \(C:x + 2y - z - 8 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_4}} = (1,2, - 1)\).
- Mặt phẳng \(D:x - 2y + z + 8 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_5}} = (1, - 2,1)\).
* Kiểm tra điều kiện vuông góc:
- Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Cụ thể:
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 0,\quad \overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_3}} = 0,\quad \overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_4}} = 0,\quad \overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_5}} = 0\)
- Tính các tích vô hướng:
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 2 \times 1 + 1 \times ( - 3) + ( - 3) \times 3 = 2 - 3 - 9 = - 10 \ne 0\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_3}} = 2 \times 3 + 1 \times ( - 3) + ( - 3) \times 1 = 6 - 3 - 3 = 0\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_4}} = 2 \times 1 + 1 \times 2 + ( - 3) \times ( - 1) = 2 + 2 + 3 = 7 \ne 0\)
\(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_5}} = 2 \times 1 + 1 \times ( - 2) + ( - 3) \times 1 = 2 - 2 - 3 = - 3 \ne 0\)
- Chỉ có phương trình mặt phẳng \(B:3x - 3y + z - 7 = 0\) có tích vô hướng bằng 0 với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \), tức là mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng \(\alpha \).
Chọn B
