Bài 1. Nguyên Hàm

Bài 1. Nguyên Hàm - Lý Thuyết và Bài Tập

Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc tính tích phân. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về nguyên hàm, bao gồm định nghĩa, tính chất, các công thức nguyên hàm cơ bản và phương pháp giải bài tập.

1. Định Nghĩa Nguyên Hàm

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Tính Chất của Nguyên Hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
Nguyên hàm của một tổng (hoặc hiệu) bằng tổng (hoặc hiệu) các nguyên hàm: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Nguyên hàm của một tích có hằng số: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)

3. Các Công Thức Nguyên Hàm Cơ Bản

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

4. Phương Pháp Giải Bài Tập Nguyên Hàm

Xác định hàm số cần tìm nguyên hàm.
Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của từng thành phần.
Áp dụng các tính chất của nguyên hàm để đơn giản hóa biểu thức.
Thêm hằng số tích phân C vào kết quả cuối cùng.

5. Ví dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tính ∫x²dx

Áp dụng công thức ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C, ta có: ∫x²dx = (x³)/3 + C

Ví dụ 2: Tính ∫(2x + 3)dx

Sử dụng tính chất ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx, ta có: ∫(2x + 3)dx = ∫2xdx + ∫3dx = 2∫xdx + 3∫dx = 2(x²/2) + 3x + C = x² + 3x + C

6. Luyện Tập Thêm

Để nắm vững kiến thức về nguyên hàm, bạn nên luyện tập thêm với nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán trực tuyến.

Bài tập gợi ý:

Tính ∫(x³ - 2x + 1)dx
Tính ∫(sin(x) + cos(x))dx
Tính ∫(1/(x+1))dx

Chúc bạn học tốt và thành công với môn Toán!