Đề bài
Ở \({45^\circ }C\), phản ứng hóa học phân hủy \({N_2}{O_5}\) xảy ra theo phương trình:
\({N_2}{O_5} \to 2N{O_2} + \frac{1}{2}{O_2}\)
với nồng độ \(c(t)\) (mol/L) của \({N_2}{O_5}\) \((c(t) > 0)\) tại thời điểm \(t\) giây (t \( \ge 0\)) thỏa mãn \(c'(t) = - 0,0005c(t)\). Biết khi \(t = 0\), nồng độ ban đầu của \({N_2}{O_5}\) là 0,05 mol/L.
a) Xét hàm số \(y(t) = \ln c(t)\) với \(t \ge 0\). Tính \(y'(t)\), từ đó tìm \(y(t)\).
b) Biết rằng nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) (mol/L) từ thời điểm \(a\) giây đến thời điểm \(b\) giây (\(a < b\)) được cho bởi công thức:
\(\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt\)
Tính nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- Sử dụng công thức \(c'(t) = - 0,0005c(t)\), suy ra \(y'(t)\) từ định nghĩa của hàm \(y(t) = \ln c(t)\)
- Từ \(y'(t)\), tính tích phân để tìm \(y(t)\).
b)
- Tính nồng độ trung bình bằng cách sử dụng công thức:
\(\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt\)
- Sử dụng hàm \(c(t)\) đã biết từ câu a để tính tích phân.
Lời giải chi tiết
a)
- Ta có:
\(y(t) = \ln c(t)\)
Lấy đạo hàm của \(y(t)\):
\(y'(t) = \frac{d}{{dt}}[\ln c(t)] = \frac{{c'(t)}}{{c(t)}}\)
- Theo đề bài, \(c'(t) = - 0,0005c(t)\), do đó:
\(y'(t) = \frac{{ - 0,0005c(t)}}{{c(t)}} = - 0,0005\)
- Tính \(y(t)\) bằng cách tích phân \(y'(t)\):
\(y(t) = \int {y'} (t){\mkern 1mu} dt = \int - 0,0005{\mkern 1mu} dt = - 0,0005t + C\)
- Khi \(t = 0\), ta có \(c(0) = 0,05{\mkern 1mu} {\rm{mol/L}}\), do đó:
\(y(0) = \ln c(0) = \ln 0,05\)
Vậy, \(C = \ln 0,05\).
- Kết luận:
\(y(t) = - 0,0005t + \ln 0,05\)
b)
- Nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây là:
\(\frac{1}{{b - a}}\int_a^b c (t){\mkern 1mu} dt = \frac{1}{{20 - 10}}\int_{10}^{20} c (t){\mkern 1mu} dt = \frac{1}{{10}}\int_{10}^{20} c (t){\mkern 1mu} dt\)
- Từ câu a, ta biết \(c(t) = {e^{y(t)}} = {e^{ - 0,0005t + \ln 0,05}} = 0,05{e^{ - 0,0005t}}\).
- Tính tích phân:
\(\int_{10}^{20} 0 ,05{e^{ - 0,0005t}}{\mkern 1mu} dt = 0,05\int_{10}^{20} {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt\)
- Tích phân của \({e^{ - 0,0005t}}\) là:
\(\int {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt = \frac{{{e^{ - 0,0005t}}}}{{ - 0,0005}} = - 2000{e^{ - 0,0005t}}\)
- Do đó:
\(0,05\int_{10}^{20} {{e^{ - 0,0005t}}} {\mkern 1mu} dt = 0,05\left( { - 2000{e^{ - 0,0005t}}|_{10}^{20}} \right)\)
\( = - 100\left( {{e^{ - 0,0005 \times 20}} - {e^{ - 0,0005 \times 10}}} \right)\)
\( = - 100\left( {{e^{ - 0,01}} - {e^{ - 0,005}}} \right)\)
- Sử dụng giá trị gần đúng:
\({e^{ - 0,01}} \approx 0,99005,\quad {e^{ - 0,005}} \approx 0,99501\)
- Khi đó:
\( - 100\left( {0,99005 - 0,99501} \right) = - 100 \times ( - 0,00496) = 0,496\)
- Nồng độ trung bình là:
\(\frac{1}{{10}} \times 0,496 = 0,0496{\mkern 1mu} {\rm{mol/L}}\)
