Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 tại tusach.vn. Chúng tôi hiểu rằng việc tự học đôi khi gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là với những bài tập đòi hỏi tư duy và vận dụng kiến thức.

Với mục tiêu hỗ trợ tối đa cho các em trong quá trình học tập, tusach.vn đã biên soạn và trình bày lời giải bài tập một cách rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các lưu ý quan trọng.

Cho đường thẳng d có vector chỉ phương (vec a) và mặt phẳng ((alpha )) có vector pháp tuyến (vec n). Gọi d' là hình chiếu của d trên ((alpha )). Gọi (phi ) là góc giữa d và ((alpha )), còn (phi ') là góc giữa (vec a) và (vec n).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\)và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).

Phương pháp giải:

- Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.

- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

\(\sin \theta = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)

với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).

Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

- Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)

- Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)

- Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)

Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:

- Với mặt phẳng Oxy:

\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

- Với mặt phẳng Oxz:

\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

- Với mặt phẳng Oyz:

\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ2
LT2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).

Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất:

- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).

- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.

Lời giải chi tiết:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.

\(\varphi + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)

Vì vậy:

\(\cos \varphi = \cos (90^\circ - \varphi ') = \sin \varphi '\)

\(\sin \varphi = \sin (90^\circ - \varphi ') = \cos \varphi '\)

Do đó:

\(\cos \varphi = \cos \varphi '\) là SAI

\(\sin \varphi = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

- Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.

- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó. - Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

\(\sin \theta = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)

với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).

Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

- Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)

- Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)

- Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)

Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:

- Với mặt phẳng Oxy:

\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

- Với mặt phẳng Oxz:

\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

- Với mặt phẳng Oyz:

\(\sin \theta = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6 \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 0 1

Phương pháp giải:

Áp dụng các tính chất:

- φ và φ' là hai góc phụ nhau (φ + φ' = 90°).

- Sử dụng công thức lượng giác của góc phụ nhau.

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn là góc nhọn.

Lời giải chi tiết:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng \((\alpha )\) là hai góc phụ nhau.

\(\varphi + \varphi ' = 90^\circ \) (góc phụ)

Vì vậy:

\(\cos \varphi = \cos (90^\circ - \varphi ') = \sin \varphi '\)

\(\sin \varphi = \sin (90^\circ - \varphi ') = \cos \varphi '\)

Do đó:

\(\cos \varphi = \cos \varphi '\) là SAI

\(\sin \varphi = \left| {\cos \varphi '} \right|\) là ĐÚNG

Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2: Tổng quan và Phương pháp giải

Mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 thường xoay quanh các chủ đề về Đường thẳng và Mặt phẳng trong không gian, cụ thể là các bài toán liên quan đến quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Để giải tốt các bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

Định nghĩa và tính chất của đường thẳng song song, vuông góc với mặt phẳng: Hiểu rõ điều kiện để một đường thẳng song song hoặc vuông góc với một mặt phẳng.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Biết cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, sử dụng các công thức và định lý liên quan.
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Nắm vững công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
Các định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Áp dụng các định lý để chứng minh và giải quyết các bài toán liên quan.

Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong mục 2 trang 68, 69

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bài tập trong mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2:

Bài 1: (Trang 68)

Đề bài: (Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng SH vuông góc với (ABCD).)

Lời giải:

Phân tích đề bài: Xác định các yếu tố quan trọng trong đề bài, như hình chóp, đáy, hình chiếu vuông góc.
Vận dụng kiến thức: Sử dụng định nghĩa về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Chứng minh: Vì H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) nên SH vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (ABCD). Do đó, SH vuông góc với (ABCD).

Bài 2: (Trang 69)

Đề bài: (Ví dụ: Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) trong hình chóp S.ABCD ở bài 1, biết SA = a√2 và AH = a/2.)

Lời giải:

Phân tích đề bài: Xác định góc cần tính, các yếu tố đã cho.
Vận dụng kiến thức: Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin(α) = d(A, (SBC))/SA, trong đó d(A, (SBC)) là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Tính toán: Tính khoảng cách d(A, (SBC)) và sử dụng công thức để tìm góc α.

Mẹo giải nhanh và hiệu quả

Để giải nhanh và hiệu quả các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, các em có thể áp dụng một số mẹo sau:

Vẽ hình: Vẽ hình chính xác và trực quan giúp các em hình dung rõ hơn về bài toán.
Sử dụng các định lý: Nắm vững và áp dụng linh hoạt các định lý liên quan.
Phân tích bài toán: Phân tích bài toán một cách kỹ lưỡng để xác định các yếu tố quan trọng và phương pháp giải phù hợp.
Luyện tập thường xuyên: Luyện tập thường xuyên giúp các em củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.

Tài liệu tham khảo thêm

Ngoài SGK Toán 12 tập 2, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nâng cao kiến thức:

Sách bài tập Toán 12
Các đề thi thử Toán 12
Các trang web học Toán trực tuyến uy tín như tusach.vn

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!

Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2

LT2

HĐ2

Giải mục 2 trang 68, 69 SGK Toán 12 tập 2: Tổng quan và Phương pháp giải

Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong mục 2 trang 68, 69

Bài 1: (Trang 68)

Bài 2: (Trang 69)

Mẹo giải nhanh và hiệu quả

Tài liệu tham khảo thêm

CHỦ ĐỀ SÁCH XEM NHIỀU

VỀ TUSACH.VN