Bài 4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Trong chương trình học toán, đặc biệt là hình học giải tích, vecto đóng vai trò vô cùng quan trọng. Việc hiểu rõ cách biểu diễn và thực hiện các phép toán trên vecto bằng tọa độ là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn chi tiết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto, bao gồm cộng, trừ, nhân với một số, tích vô hướng và tích có hướng.

1. Biểu diễn Vectơ bằng Tọa độ

Một vectơ trong không gian hai chiều (mặt phẳng) có thể được biểu diễn bằng một cặp số (x, y), gọi là tọa độ của vectơ. Tương tự, trong không gian ba chiều, vectơ được biểu diễn bằng bộ ba số (x, y, z). Ví dụ, vectơ a = (2, 3) là một vectơ trong mặt phẳng, và vectơ b = (1, -1, 0) là một vectơ trong không gian ba chiều.

2. Phép Cộng Vectơ

Để cộng hai vectơ, ta cộng các tọa độ tương ứng của chúng. Ví dụ:

• Nếu a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂), thì a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
• Nếu a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂), thì a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)

Ví dụ: Cho a = (1, 2) và b = (3, -1). Khi đó, a + b = (1 + 3, 2 + (-1)) = (4, 1).

3. Phép Trừ Vectơ

Tương tự như phép cộng, để trừ hai vectơ, ta trừ các tọa độ tương ứng của chúng. Ví dụ:

• Nếu a = (x₁, y₁) và b = (x₂, y₂), thì a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)
• Nếu a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂), thì a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)

Ví dụ: Cho a = (5, 3) và b = (2, 1). Khi đó, a - b = (5 - 2, 3 - 1) = (3, 2).

4. Phép Nhân Vectơ với một Số

Để nhân một vectơ với một số thực k, ta nhân mỗi tọa độ của vectơ với k. Ví dụ:

• Nếu a = (x, y), thì ka = (kx, ky)
• Nếu a = (x, y, z), thì ka = (kx, ky, kz)

Ví dụ: Cho a = (2, -1) và k = 3. Khi đó, 3a = (3 * 2, 3 * (-1)) = (6, -3).

5. Tích Vô Hướng của Hai Vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂) được tính bằng công thức:

a . b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Tích vô hướng có ứng dụng quan trọng trong việc tính góc giữa hai vectơ và kiểm tra tính vuông góc của chúng.

6. Tích Có Hướng của Hai Vectơ

Tích có hướng của hai vectơ a = (x₁, y₁, z₁) và b = (x₂, y₂, z₂) là một vectơ được tính bằng công thức:

a x b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)

Tích có hướng có ứng dụng quan trọng trong việc tính diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ và tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai vectơ đó.

Bài Tập Vận Dụng

1. Cho a = (1, 2, 3) và b = (-1, 0, 1). Tính a + b, a - b, 2a, và a . b.
2. Cho a = (2, 1, 0) và b = (1, -1, 1). Tính a x b.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé! Chúc bạn học tốt cùng tusach.vn!