Lý Thuyết Tính Đơn Điệu & Cực Trị Hàm Số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Chương trình Toán 12 Cánh Diều tập trung vào việc nghiên cứu sâu về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc xét tính đơn điệu, cực trị của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia.

Bài viết này sẽ cung cấp một cách đầy đủ và dễ hiểu về lý thuyết, các định lý, công thức liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số, cùng với các ví dụ minh họa chi tiết.

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0 Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \))

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

Định lý mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

Nếu f’(x) \( \ge \) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
Nếu f’(x) \( \le \) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\)
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2

Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30.\)

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30.

Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Lập BBT của hàm số.
Nêu kết luận về các điểm trực trị và giá trị cực trị

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 3

Lý Thuyết Tính Đơn Điệu và Cực Trị của Hàm Số Toán 12 Cánh Diều

Chương trình Toán 12 Cánh Diều, đặc biệt là phần Giải tích, dành nhiều sự quan tâm đến việc nghiên cứu tính chất của hàm số thông qua đạo hàm. Việc nắm vững lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số không chỉ giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về hàm số mà còn là nền tảng vững chắc để giải quyết các bài toán thực tế và trong các kỳ thi quan trọng.

1. Khái Niệm Cơ Bản

Trước khi đi sâu vào lý thuyết, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản:

Hàm số đơn điệu: Hàm số f(x) được gọi là đơn điệu trên khoảng (a, b) nếu nó hoặc là tăng hoặc là giảm trên khoảng đó.
Hàm số tăng: f(x₁) < f(x₂) với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂.
Hàm số giảm: f(x₁) > f(x₂) với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂.
Điểm cực trị: Điểm x₀ được gọi là điểm cực trị của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x thuộc (a, x₀) và f(x) < f(x₀) với mọi x thuộc (x₀, b) (điểm cực đại) hoặc f(x) < f(x₀) với mọi x thuộc (a, x₀) và f(x) > f(x₀) với mọi x thuộc (x₀, b) (điểm cực tiểu).

2. Điều Kiện Đủ để Hàm Số Đơn Điệu

Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta sử dụng đạo hàm:

Hàm số f(x) tăng trên (a, b) nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a, b).
Hàm số f(x) giảm trên (a, b) nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc (a, b).

Lưu ý: Điều kiện trên chỉ là điều kiện đủ, không phải điều kiện cần. Hàm số có thể đơn điệu mà không thỏa mãn điều kiện này (ví dụ: hàm số có đạo hàm bằng 0 tại một số điểm).

3. Điều Kiện Cần để Hàm Số Có Cực Trị

Để hàm số f(x) có cực trị tại x₀, điều kiện cần là:

f'(x₀) = 0
f'(x) đổi dấu khi x đi qua x₀.

Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu.

4. Quy Tắc Xét Dấu Đạo Hàm

Đây là một công cụ quan trọng để xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số:

x	f'(x)	f(x)
< x₀	+	Tăng
> x₀	-	Giảm

Bảng trên cho thấy x₀ là điểm cực đại.

5. Ứng Dụng của Tính Đơn Điệu và Cực Trị

Việc nắm vững lý thuyết này giúp chúng ta:

Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.
Giải các bài toán tối ưu hóa trong thực tế.

6. Bài Tập Ví Dụ

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x
Tìm điểm cực trị: f'(x) = 0 => 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu f'(x):

x < 0: f'(x) > 0 => f(x) tăng
0 < x < 2: f'(x) < 0 => f(x) giảm
x > 2: f'(x) > 0 => f(x) tăng

Kết luận: Hàm số tăng trên (-∞, 0) và (2, +∞), giảm trên (0, 2). Điểm cực đại là x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2. Điểm cực tiểu là x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!