Giải Bài Tập 4.1 Trang 10 Toán 12 Tập 2

Giải bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp kiến thức chính xác và phương pháp giải bài tập hiệu quả.

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) (x{e^x}) và ((x - 1){e^x}); b) (frac{1}{2}{ln ^2}x) và (frac{{ln x}}{x}).

Đề bài

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) \(x{e^x}\) và \((x - 1){e^x}\);

b) \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) và \(\frac{{\ln x}}{x}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Để xác định xem hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại, ta cần tính đạo hàm của một hàm số và kiểm tra xem có bằng với hàm số còn lại hay không.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(f(x) = (x - 1){e^x}\), ta tính đạo hàm:

\(f'(x) = \frac{d}{{dx}}[(x - 1){e^x}] = {e^x} + (x - 1){e^x} = x{e^x}\)

Vậy \((x - 1){e^x}\) là nguyên hàm của \(x{e^x}\).

b) Xét \(f(x) = \frac{1}{2}{\ln ^2}x\), ta tính tích phân:

\(f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{2}{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.\frac{d}{{dx}}\left( {{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.2.\ln x.\frac{d}{{dx}}\left( {\ln x} \right) = \ln x.\frac{1}{x} = \frac{{\ln x}}{x}\)

Vậy \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) là nguyên hàm của \(\ln x\).

Giải Bài Tập 4.1 Trang 10 Toán 12 Tập 2: Chi Tiết và Dễ Hiểu

Bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xét dấu đạo hàm.

1. Đề Bài Bài Tập 4.1 Trang 10 Toán 12 Tập 2

(Đề bài cụ thể của bài tập 4.1 sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2)

2. Phương Pháp Giải Bài Tập Khảo Sát Hàm Số

Để giải bài tập khảo sát hàm số, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm cấp nhất y'.
Tìm các điểm cực trị:
- Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị.
- Xét dấu đạo hàm y' để xác định loại cực trị (cực đại, cực tiểu).
Tính đạo hàm cấp hai y''.
Tìm điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0 và xét dấu đạo hàm y'' để xác định điểm uốn.
Khảo sát giới hạn của hàm số tại vô cùng và các điểm gián đoạn.
Vẽ đồ thị hàm số.

3. Giải Chi Tiết Bài Tập 4.1 Trang 10 Toán 12 Tập 2

(Giải chi tiết bài tập 4.1 với các bước thực hiện cụ thể, bao gồm tính đạo hàm, tìm cực trị, xét dấu đạo hàm, tìm điểm uốn, khảo sát giới hạn và vẽ đồ thị. Ví dụ với hàm số y = x³ - 3x² + 2:)

Tập xác định: D = ℝ
Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
Tìm cực trị:
- y' = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
- Xét dấu y':
  x -∞ 0 2 +∞
  y' + - + +
  y NB ĐC CT NB
Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
Tìm điểm uốn: y'' = 0 ⇔ x = 1. Xét dấu y'': y'' đổi dấu tại x = 1 nên x = 1 là điểm uốn.

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+	+
y	NB	ĐC	CT	NB

4. Kết Luận

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 có:

Điểm cực đại tại (0, 2) với giá trị cực đại là 2.
Điểm cực tiểu tại (2, -2) với giá trị cực tiểu là -2.
Điểm uốn tại (1, 0).

5. Luyện Tập Thêm

Để củng cố kiến thức về khảo sát hàm số, các em có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác. tusach.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều lời giải bài tập Toán 12 để hỗ trợ các em học tập tốt hơn.