Giải bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2

Giải bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về Nguyên hàm tích phân và ứng dụng. tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất.

Bài tập 5.7 yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về nguyên hàm để tính tích phân.

Viết phương trình mặt phẳng ((alpha )) đi qua hai điểm (A(1;0;1)), (B(5;2;3)) và vuông góc với mặt phẳng ((beta )): (2x - y + z - 7 = 0).

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm \(A(1;0;1)\), \(B(5;2;3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\): \(2x - y + z - 7 = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

- Mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng đã cho sẽ có vector pháp tuyến là tích vô hướng của vector pháp tuyến của mặt phẳng đã cho và vector tạo bởi hai điểm trên mặt phẳng cần tìm.

- Sử dụng phương trình mặt phẳng dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\).

- Vector pháp tuyến của \((\alpha )\) phải thỏa mãn tính vuông góc với vector pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\) và đi qua hai điểm cho trước.

Lời giải chi tiết

Vector pháp tuyến của mặt phẳng \((\beta )\) là: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (2, - 1,1)\).

Vector chỉ phương của đường thẳng qua hai điểm \(A(1;0;1)\) và \(B(5;2;3)\) là:

\(\overrightarrow {AB} = (5 - 1;2 - 0;3 - 1) = (4;2;2)\)

Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (A,B,C)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\). Vì \((\alpha )\) vuông góc với \((\beta )\), nên vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\)sẽ bằng tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} \):

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2.1 - 2.( - 1);\,\,\,4.1 - 2.2;\,\,\,4.( - 1) - 2.2} \right) = \left( {4;0; - 8} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng: \(x - 2z + D = 0\).

Thay tọa độ điểm \(A(1;0;1)\) vào phương trình để tìm \(D\):

\(1 - 2(1) + D = 0 \Rightarrow D = 1\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là:

\(x - 2z + 1 = 0\)

Giải bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2: Phương pháp và Lời giải Chi Tiết

Bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương Nguyên hàm tích phân và ứng dụng. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về nguyên hàm, tích phân và các phương pháp tính tích phân cơ bản.

Đề bài bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2

Tính các tích phân sau:

∫(x^2 + 1)dx
∫(2x - 3)dx
∫(sin x + cos x)dx
∫(e^x + 1/x)dx

Phương pháp giải bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2

Để giải các tích phân trên, chúng ta sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản sau:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (với n ≠ -1)
∫sin x dx = -cos x + C
∫cos x dx = sin x + C
∫e^x dx = e^x + C
∫(1/x) dx = ln|x| + C

Ngoài ra, chúng ta còn sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân: ∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx (với a, b là các hằng số).

Lời giải chi tiết bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2

1. ∫(x^2 + 1)dx

Áp dụng công thức ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C và tính chất tuyến tính của tích phân, ta có:

∫(x^2 + 1)dx = ∫x^2 dx + ∫1 dx = (x^3)/3 + x + C

2. ∫(2x - 3)dx

Áp dụng công thức ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C và tính chất tuyến tính của tích phân, ta có:

∫(2x - 3)dx = 2∫x dx - 3∫1 dx = 2(x^2)/2 - 3x + C = x^2 - 3x + C

3. ∫(sin x + cos x)dx

Áp dụng công thức ∫sin x dx = -cos x + C và ∫cos x dx = sin x + C, ta có:

∫(sin x + cos x)dx = ∫sin x dx + ∫cos x dx = -cos x + sin x + C

4. ∫(e^x + 1/x)dx

Áp dụng công thức ∫e^x dx = e^x + C và ∫(1/x) dx = ln|x| + C, ta có:

∫(e^x + 1/x)dx = ∫e^x dx + ∫(1/x) dx = e^x + ln|x| + C

Kết luận

Vậy, lời giải chi tiết cho bài tập 5.7 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là:

∫(x^2 + 1)dx = (x^3)/3 + x + C
∫(2x - 3)dx = x^2 - 3x + C
∫(sin x + cos x)dx = -cos x + sin x + C
∫(e^x + 1/x)dx = e^x + ln|x| + C

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách giải bài tập tích phân và áp dụng vào các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!

Lưu ý: C là hằng số tích phân.