Giải Bài Tập 4.7 Trang 10 Toán 12 Tập 2

Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp kiến thức chính xác và dễ hiểu nhất.

Tìm: a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\) b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)

Đề bài

Tìm:

a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\)

b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)

c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Sử dụng các phương pháp tích phân từng phần, đổi biến và áp dụng các công thức tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết

a) Để tính \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\), ta sử dụng phép đổi biến \({4^{\frac{x}{2}}} = {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\), do đó:

\(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{2^x}du} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)

b) Tích phân \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) có thể được viết lại dưới dạng:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \int {\frac{1}{{{{\left( {\sin x\cos x} \right)}^2}}}dx = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} } dx\)

Đặt \(u = 2x\) suy ra \(du = 2dx\), do đó:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}} du = - 2\cot u + C = - 2\cot 2x + C\)

c) Tích phân \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\) có thể được tách ra thành hai tích phân riêng:

\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2\int {{e^x}} dx + \frac{1}{3}\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \)

Tính từng tích phân:

\(2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + {C_1},\quad \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} x{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\tan x + {C_2}\)

Vậy kết quả là:

\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2{e^x} + \frac{1}{3}\tan x + C\)

Giải Bài Tập 4.7 Trang 10 Toán 12 Tập 2: Chi Tiết và Dễ Hiểu

Bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Đề Bài Bài Tập 4.7 Trang 10 Toán 12 Tập 2

(Đề bài cụ thể của bài tập 4.7 sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2)

Phương Pháp Giải

Tính đạo hàm cấp nhất (y'): Tìm đạo hàm của hàm số đã cho.
Tìm điểm dừng: Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng không.
Lập bảng biến thiên: Xác định dấu của y' trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng. Từ đó, xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Xác định cực trị: Sử dụng dấu của y' để xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Tính đạo hàm cấp hai (y''): Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.
Xác định điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0 để tìm các điểm uốn của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số: Dựa vào các thông tin đã thu thập được, vẽ đồ thị hàm số.

Lời Giải Chi Tiết Bài Tập 4.7

(Lời giải chi tiết của bài tập 4.7 sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước tính toán, giải thích và kết luận. Ví dụ:

1. Tính đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x

2. Tìm điểm dừng: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2

3. Lập bảng biến thiên:

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+
y	↗	↘	↗

4. Xác định cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_max = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y_min = -2.

...)

Lưu Ý Quan Trọng

Luôn kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo tính chính xác.
Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm và các điểm cực trị trong việc khảo sát hàm số.
Sử dụng đồ thị hàm số để minh họa và kiểm tra lại kết quả.

Các Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các tài liệu ôn thi THPT Quốc gia.

Chúc các em học tập tốt!