Đề bài
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa:
a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD);
b) Hai đường thẳng AB và CD;
c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Công thức góc giữa hai mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}{{|\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} ||\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}\)
- Công thức góc giữa hai đường thẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} |}}{{|\overrightarrow {AB} ||\overrightarrow {CD} |}}\)
- Công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}{{|\overrightarrow {AB} ||\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}\)
Lời giải chi tiết
a)
- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (0 - 1,1 - 0,0 - 0) = ( - 1,1,0)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 1,0 - 0,1 - 0) = ( - 1,0,1)\)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:
\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = (1.1 - 0.0,\,\,\,0.( - 1) - ( - 1).1,\,\,\,( - 1).0 - 1.( - 1)) = (1,1,1)\)
- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:
\(\overrightarrow {BC} = C - B = (0 - 0,0 - 1,1 - 0) = (0, - 1,1)\)
\(\overrightarrow {BD} = D - B = ( - 2 - 0,1 - 1, - 1 - 0) = ( - 2,0, - 1)\)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là:
\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = (( - 1).( - 1) - 1.0,1.( - 2) - 0.( - 1),0.0 - ( - 1).( - 2)) = (1, - 2, - 2)\)
- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến:
\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} = (1,1,1) \cdot (1, - 2, - 2) = 1 \times 1 + 1 \times ( - 2) + 1 \times ( - 2) = - 3\)
- Tính độ dài của các vectơ pháp tuyến:
\(|{{\bf{n}}_{ABC}}| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 ,\quad |{{\bf{n}}_{BCD}}| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt 9 = 3\)
- Tính góc giữa hai mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{| - 3|}}{{\sqrt 3 \times 3}} = \frac{3}{{3\sqrt 3 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
b)
- Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} = ( - 1,1,0)\)
- Vecto chỉ phương của đường thẳng CD là:
\(\overrightarrow {CD} = D - C = ( - 2 - 0,1 - 0, - 1 - 1) = ( - 2,1, - 2)\)
- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = ( - 1,1,0) \cdot ( - 2,1, - 2) = ( - 1 \times - 2) + (1 \times 1) + (0 \times - 2) = 2 + 1 = 3\)
- Tính độ dài của các vectơ chỉ phương:
\(|\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 ,\quad |\overrightarrow {CD} | = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt 9 = 3\)
- Tính góc giữa hai đường thẳng:
\(\cos \theta = \frac{3}{{\sqrt 2 \times 3}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = {45^\circ }\)
c)
- Tính tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD):
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} = ( - 1,1,0) \cdot (1, - 2, - 2) = - 1 \times 1 + 1 \times ( - 2) + 0 \times ( - 2) = - 3\)
- Tính độ dài của các vectơ:
\(|\overrightarrow {AB} | = \sqrt 2 ,\quad |{{\bf{n}}_{BCD}}| = 3\)
- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{3}{{\sqrt 2 \times 3}} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = 45^\circ \)
