Giải Bài Tập 3.7 Trang 102 SGK Toán 12 Tập 1

Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và đầy đủ nhất.

Nhà máy đường kiểm tra khối lượng các gói đường do một máy đóng gói tự động thực hiện. Kết quả kiểm tra được biểu diễn trong bảng dưới đây:

Đề bài

Nhà máy đường kiểm tra khối lượng các gói đường do một máy đóng gói tự động thực hiện. Kết quả kiểm tra được biểu diễn trong bảng dưới đây:

Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

a) Tính trung bình và độ lệch chuẩn của khối lượng các gói đường.

b) Có thể nói là máy vận hành tốt hay không nếu như tiêu chuẩn mong muốn của nhà máy là khối lượng trung bình nằm trong khoảng 500 – 504 gam và độ lệch chuẩn nhỏ hơn 3 gam?

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 2

- Công thức tính trung bình:

\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{f_i}} \right)} }}{N}\)

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

\(S = \sqrt {\overline {{x^2}} - {{\left( {\overline x } \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}x_i^2} }}{N} - {{\left( {\overline x } \right)}^2}} \)

Lời giải chi tiết

a) Tính trung điểm của từng lớp khối lượng.

Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 3

Tính trung binh \(\overline x \).

\(\bar x = \frac{{2 \cdot 495 + 6 \cdot 497 + 8 \cdot 499 + 32 \cdot 501 + 28 \cdot 503 + 15 \cdot 505 + 7 \cdot 507 + 2 \cdot 509}}{{2 + 6 + 8 + 32 + 28 + 15 + 7 + 2}}\)

\(\bar x = \frac{{990 + 2982 + 3992 + 16032 + 14084 + 7575 + 3549 + 1018}}{{100}} = \frac{{50222}}{{100}} = 502,22\;{\rm{g}}\)

Tính \(\sum {{f_i}x_i^2} \)

\(\sum {{f_i}} x_i^2 = 2 \cdot {(495)^2} + 6 \cdot {(497)^2} + 8 \cdot {(499)^2} + 32 \cdot {(501)^2} + 28 \cdot {(503)^2} + 15 \cdot {(505)^2} + 7 \cdot {(507)^2} + 2 \cdot {(509)^2}\)

\(\sum {{f_i}} x_i^2 = 2 \cdot 245025 + 6 \cdot 247009 + 8 \cdot 249001 + 32 \cdot 251001 + 28 \cdot 253009 + 15 \cdot 255025 + 7 \cdot 257049 + 2 \cdot 259081\)

\(\sum {{f_i}} x_i^2 = 490050 + 1482054 + 1992008 + 8032032 + 7084252 + 3825375 + 1799343 + 518162 = 25223276\)

Độ lệch chuẩn của khối lượng các gói đường là:

\(S = \sqrt {\frac{{25223276}}{{100}} - {{\left( {502,22} \right)}^2}} \approx 2,798g\)

b) Khối lượng trung bình \(\overline x = 502,22\) nằm trong khoảng yêu cầu [500,504]. Độ lệch tiêu chuẩn \(S \approx 2,798\)g cũng bé hơn mức yêu cầu 3g nên có thể kết luận máy hoạt động đúng tiêu chuẩn mong muốn.

Giải Bài Tập 3.7 Trang 102 SGK Toán 12 Tập 1: Chi Tiết và Dễ Hiểu

Bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Đề Bài Bài Tập 3.7

Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2. Hãy:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Vẽ đồ thị của hàm số.

Lời Giải Chi Tiết

1. Tập xác định:

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.

2. Tính đạo hàm:

f'(x) = 3x² - 6x

3. Tìm các điểm cực trị:

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2.

Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:

Khoảng (-∞; 0): f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Khoảng (0; 2): f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
Khoảng (2; +∞): f'(x) > 0, hàm số đồng biến.

Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

f(0) = 2, điểm cực đại là (0; 2).

f(2) = 2³ - 3(2²) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2, điểm cực tiểu là (2; -2).

4. Khảo sát sự biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

5. Vẽ đồ thị:

Dựa vào các thông tin đã tìm được, ta có thể vẽ đồ thị của hàm số y = x³ - 3x² + 2. Đồ thị có dạng đường cong đi qua các điểm quan trọng như (0; 2), (2; -2) và có các khoảng đồng biến, nghịch biến như đã xác định.

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, điều quan trọng là phải nắm vững các bước thực hiện và áp dụng đúng các công thức, định lý. Ngoài ra, việc vẽ đồ thị hàm số cũng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.

Tusach.vn – Đồng Hành Cùng Bạn Học Toán 12

Tusach.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức và kỹ năng giải bài tập. Hãy truy cập Tusach.vn để tìm kiếm thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích khác.

Chúc các em học tập tốt!