Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, \(S( - 3;2;6)\), \(A(1;1;1)\), \(B(2;3;4)\), \(C(7;7;5)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD).
b) Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1}),B({x_2},{y_2},{z_2}),C({x_3},{y_3},{z_3})\), phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh \(S({x_0},{y_0},{z_0})\) đến mặt phẳng chứa đáy ABCD, sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
.\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
Viết phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) qua ba điểm \(A(1;1;1),B(2;3;4),C(7;7;5)\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (2 - 1;3 - 1;4 - 1) = (1;2;3)\\\overrightarrow {AC} = (7 - 1;7 - 1;5 - 1) = (6;6;4)\end{array}\)
Tìm vector pháp tuyến \(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} \):
\(\vec n = \left( {2.4 - 3.6;\,\,3.6 - 1.4;\,\,1.6 - 2.6} \right) = \left( { - 10;14; - 6} \right)\)
Phương trình mặt phẳng có dạng: \( - 10(x - 1) + 14(y - 1) - 6(z - 1) = 0\), suy ra:
\( - 10x + 14y - 6z + 2 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) là: \( - 5x + 7y - 3z + 1 = 0\).
Vì ABCD là hình bình hành nên:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} \to \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {AB} = (7 - 1;\,7 - 2;5 - 3) = (6;5;2)\)
Viết phương trình mặt phẳng \((SCD)\) qua các điểm \(S( - 3;2;6),C(7;7;5),D(6;5;2)\).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SC} = (7 + 3;7 - 2;5 - 6) = (10;5; - 1)\\\overrightarrow {SD} = (6 + 3;5 - 2;2 - 6) = (9;3; - 4)\end{array}\)
Tìm vector pháp tuyến \(\vec n' = \overrightarrow {SC} \times \overrightarrow {SD} \):
\(\vec n' = \left( {5.( - 4) - ( - 1).3;\,( - 1).9 - 10.( - 4);\,10.3 - 5.9} \right) = ( - 17;31; - 15)\)
Phương trình mặt phẳng có dạng: \( - 17(x + 3) + 31(y - 2) - 15(z - 6) = 0\), suy ra:
\(17x - 31y + 15z + 23 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((SCD)\) là: \(17x - 31y + 15z + 23 = 0\).
Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.
\(d = \frac{{| - 5.( - 3) + 7.(2) - 3(6) + 1|}}{{\sqrt {{{( - 5)}^2} + {7^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{{|12|}}{{\sqrt {25 + 49 + 9} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {83} }}\)
Vậy chiều cao của hình chóp S.ABCD là \(\frac{{12}}{{\sqrt {83} }}\).
