Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian

Chào mừng các bạn đến với bài học số 2 trong chương trình Hình học không gian lớp 12: Phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một chủ đề quan trọng, nền tảng cho việc học các kiến thức nâng cao hơn về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

1. Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian

Trong không gian, một đường thẳng có thể được biểu diễn bằng nhiều dạng phương trình khác nhau. Dưới đây là các dạng phổ biến nhất:

• Phương trình tham số:x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, trong đó (x₀, y₀, z₀) là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng.
• Phương trình chính tắc:(x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c, với điều kiện a, b, c khác 0.
• Phương trình theo đoạn chắn:x/a + y/b + z/c = 1, trong đó (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) là các điểm mà đường thẳng cắt các trục tọa độ.

Việc lựa chọn dạng phương trình nào phù hợp phụ thuộc vào dữ kiện bài toán cung cấp.

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ chỉ phương là một vectơ song song với đường thẳng. Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) thì vectơ AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

3. Điều kiện để điểm thuộc đường thẳng

Một điểm M(x, y, z) thuộc đường thẳng nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của đường thẳng. Ví dụ, nếu sử dụng phương trình tham số, ta cần kiểm tra xem tồn tại giá trị t sao cho:

• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương u = (4, 5, 6).

Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là:

• x = 1 + 4t
• y = 2 + 5t
• z = 3 + 6t

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: (x - 1)/2 = (y + 1)/3 = (z - 2)/1. Điểm M(3, 5, 4) có thuộc đường thẳng d không?

Giải: Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d, ta được:

(3 - 1)/2 = (5 + 1)/3 = (4 - 2)/1 => 1 = 2 = 2. Vì vậy, điểm M không thuộc đường thẳng d.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian, các bạn nên tự giải thêm nhiều bài tập khác nhau. Tusach.vn cung cấp một hệ thống bài tập phong phú, đa dạng với các mức độ khó khác nhau, kèm theo lời giải chi tiết để các bạn tham khảo.

Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!