Giải bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2: Chi tiết và Dễ Hiểu

Bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương Nguyên hàm tích phân và ứng dụng. Để giải bài tập này, các em cần nắm vững các kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân và các phương pháp tính tích phân đã học.

Đề bài bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2

Tính các tích phân sau:

1. ∫(x+1)e^x dx
2. ∫x cos(2x) dx
3. ∫x ln(x+1) dx

Lời giải chi tiết bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2

a) ∫(x+1)e^x dx

Để tính tích phân này, chúng ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt:

• u = x + 1
• dv = e^x dx

Suy ra:

• du = dx
• v = e^x

Áp dụng công thức tích phân từng phần ∫u dv = uv - ∫v du, ta có:

∫(x+1)e^x dx = (x+1)e^x - ∫e^x dx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + C

b) ∫x cos(2x) dx

Tương tự như trên, ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt:

• u = x
• dv = cos(2x) dx

Suy ra:

• du = dx
• v = (1/2)sin(2x)

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

∫x cos(2x) dx = x(1/2)sin(2x) - ∫(1/2)sin(2x) dx = (1/2)x sin(2x) + (1/4)cos(2x) + C

c) ∫x ln(x+1) dx

Tiếp tục sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt:

• u = ln(x+1)
• dv = x dx

Suy ra:

• du = 1/(x+1) dx
• v = (1/2)x²

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

∫x ln(x+1) dx = (1/2)x² ln(x+1) - ∫(1/2)x²/(x+1) dx

Để tính ∫(1/2)x²/(x+1) dx, ta thực hiện phép chia đa thức:

x² = (x-1)(x+1) + 1

Do đó, ∫(1/2)x²/(x+1) dx = (1/2)∫(x-1 + 1/(x+1)) dx = (1/2)(x²/2 - x + ln|x+1|) + C

Vậy, ∫x ln(x+1) dx = (1/2)x² ln(x+1) - (1/4)x² + (1/2)x - (1/2)ln|x+1| + C

Lưu ý khi giải bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2

• Nắm vững phương pháp tích phân từng phần và biết cách chọn u, dv phù hợp.
• Chú ý đến các phép biến đổi đại số để đơn giản hóa tích phân.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của kết quả để xem có bằng biểu thức ban đầu hay không.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!