Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2

Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số, một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12.

tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp đáp án chính xác và phương pháp giải bài tập hiệu quả.

Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu. a) Với hệ trục Oxyz (đơn vị trên trục là mét) và các kích thước được cho như Hình 5.16, hãy viết phương trình mặt phẳng chứa mái che. b) Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led. Tính độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây này.

Đề bài

Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu.

a) Với hệ trục Oxyz (đơn vị trên trục là mét) và các kích thước được cho như Hình 5.16, hãy viết phương trình mặt phẳng chứa mái che.

b) Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn led. Tính độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây này.

Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 2

a) Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D của mái che. Sử dụng 3 điểm để viết phương trình mặt phẳng chứa mái che. Tìm hai vectơ chỉ phương và tính tích có hướng để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Dùng vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng.

b) Tìm tọa độ các điểm G, E. Tính khoảng cách từ điểm G hoặc E đến mặt phẳng chứa mái che. Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để tính độ dài ngắn nhất của đoạn dây.

Lời giải chi tiết

Giả sử tọa độ các điểm của mái che là:

\(A(0;0;8),\quad B(0;20;8),\quad C(15;20;14),\quad D(15;0;14).\)

Các điểm này nằm trên mặt phẳng chứa mái che. Tính hai vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {AB} = (0;20;0),\quad \overrightarrow {AC} = (15;20;6).\)

Tích có hướng của hai vectơ:

\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = (120;0; - 300).\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\vec n = (120;0; - 300)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(120(x - 0) + 0y - 300(z - 8) = 0\quad \Rightarrow \quad 120x - 300z + 2400 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2x - 5z + 40 = 0\)

Vậy phương trình mặt phẳng chứa mái che là \(\,2x - 5z + 40 = 0\).

Giả sử tọa độ các điểm \(G(0;0;4)\).

Khoảng cách từ điểm \(G(0;0;4)\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) chính là độ dài ngắn nhất của đoạn dây nối từ thanh ngang GE với mái che được tính bằng công thức:

\(d = \frac{{|2.0 - 5.4 + 40|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 5)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {29} }}\)

Vậy độ dài ngắn nhất của mỗi đoạn dây là \(\frac{{20}}{{\sqrt {29} }}\) mét.

Giải bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2: Đạo hàm và ứng dụng

Bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế. Bài toán này thường liên quan đến việc tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, và tìm cực trị của hàm số.

Nội dung bài tập 5.14

Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần:

Xác định hàm số: Đọc kỹ đề bài để xác định chính xác hàm số cần xét.
Tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm của hàm số.
Xét dấu đạo hàm: Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Xét dấu đạo hàm trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
Tìm cực trị: Dựa vào dấu của đạo hàm để xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

Lời giải chi tiết bài tập 5.14

(Giả sử bài tập 5.14 có nội dung cụ thể như sau: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 2. Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số.)

Tính đạo hàm: y' = 3x² - 6x
Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu đạo hàm:
- Với x < 0: y' > 0, hàm số đồng biến.
- Với 0 < x < 2: y' < 0, hàm số nghịch biến.
- Với x > 2: y' > 0, hàm số đồng biến.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.

Mở rộng kiến thức

Ngoài việc giải bài tập 5.14, các em có thể tìm hiểu thêm về:

Ứng dụng của đạo hàm: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
Đạo hàm cấp hai: Nghiên cứu tính lồi, lõm của hàm số.
Bài tập tương tự: Luyện tập thêm các bài tập về đạo hàm để nắm vững kiến thức.

Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm

Khi giải các bài tập về đạo hàm, các em cần chú ý:

Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm: Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp.
Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo rằng kết quả tính toán là chính xác.
Vận dụng linh hoạt kiến thức: Áp dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán khác nhau.

Hy vọng với lời giải chi tiết và những kiến thức mở rộng trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về bài tập 5.14 trang 53 SGK Toán 12 tập 2 và có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!

Giai đoạn	Nội dung
Bước 1	Tính đạo hàm y'
Bước 2	Giải phương trình y' = 0
Bước 3	Xét dấu đạo hàm
Bước 4	Kết luận về cực trị
Bảng tóm tắt các bước giải