Đề bài
Một khuôn nướng bánh mì được mô phỏng trong không gian Oxyz như Hình 5.30 với các điểm sau: \(S(0;0;0)\), \(P(8;0;0)\), \(Q(8;18;0)\), \(T( - 1; - 1;7)\), \(R(9;19;7)\). Tính góc giữa hai cạnh kề nhau, giữa cạnh bên và mặt đáy, giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
1. Tính góc giữa hai cạnh kề
- Xác định vectơ chỉ phương của hai cạnh:
- Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ:
\(\cos \theta = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u||\vec v|}}\)
2. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
- Xác định các vectơ chỉ phương của cạnh bên và mặt đáy.
- Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ:
\(\cos \theta = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u||\vec v|}}\)
3. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy:
- Tính vectơ pháp tuyến của mặt bên và mặt đáy.
- Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} |}}{{|\overrightarrow {{n_1}} ||\overrightarrow {{n_2}} |}}\)
Lời giải chi tiết
- Tính góc giữa hai cạnh kề nhau:
Ta có các vectơ chỉ phương sau:
\(\overrightarrow {SP} = P - S = (8 - 0;0 - 0;0 - 0) = (8;0;0)\)
\(\overrightarrow {SQ} = Q - S = (8 - 0;18 - 0;0 - 0) = (8;18;0)\)
\(\overrightarrow {ST} = T - S = ( - 1 - 0; - 1 - 0;7 - 0) = ( - 1; - 1;7)\)
\(\overrightarrow {SH} = \overrightarrow {PQ} = (0;18;0)\)
\(\overrightarrow {SE} = (9; - 1;7)\)
Góc giữa những cặp cạnh kề nhau:
\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {ST} ) = \frac{{8.( - 1) + 0.( - 1) + 0.( - 7)}}{{\sqrt {{8^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{{ - 8}}{{8.\sqrt {51} }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {ST} ) \approx {98^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {PS} ,\overrightarrow {PE} ) = (\overrightarrow {HQ} ,\overrightarrow {HK} ) = (\overrightarrow {QH} ,\overrightarrow {QR} ) \approx {98^\circ }\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {EP} ,\overrightarrow {ER} ) = \frac{{( - 1).(0) + (1).(2) + ( - 7).(0)}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {{( - 7)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {51} .2}} = \frac{1}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {EP} ,\overrightarrow {ER} ) \approx {82^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {RE} ,\overrightarrow {RQ} ) = (\overrightarrow {TS} ,\overrightarrow {TK} ) = (\overrightarrow {KT} ,\overrightarrow {KH} ) \approx {82^\circ }\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {ET} ,\overrightarrow {EP} ) = \frac{{( - 10).( - 1) + (0).(1) + (0).( - 7)}}{{\sqrt {{{( - 10)}^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \frac{{10}}{{10.\sqrt {51} }} = \frac{1}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {ET} ,\overrightarrow {EP} ) \approx {82^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {TE} ,\overrightarrow {TS} ) = (\overrightarrow {KH} ,\overrightarrow {KR} ) = (\overrightarrow {RK} ,\overrightarrow {RQ} ) \approx {82^\circ }\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\cos (\overrightarrow {PE} ,\overrightarrow {PQ} ) = \frac{{(1).(0) + ( - 1).(18) + (7).(0)}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {7^2}} .\sqrt {{0^2} + {{18}^2} + {0^2}} }} = \frac{{ - 18}}{{\sqrt {51} .18}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {51} }} \Rightarrow (\overrightarrow {PE} ,\overrightarrow {PQ} ) \approx {98^\circ }\\ \Leftrightarrow (\overrightarrow {QP} ,\overrightarrow {QR} ) = (ST,\overrightarrow {SH} ) = (\overrightarrow {HS} ,\overrightarrow {HK} ) \approx {98^\circ }\end{array}\)
\(\cos (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SH} ) = \frac{{8.(0) + 0.(18) + 0.(0)}}{{\sqrt {{8^2}} .\sqrt {{0^2} + {{18}^2} + {0^2}} }} = 0 \Rightarrow (\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SH} ) = {90^\circ }\)
\(\cos (\overrightarrow {PS} ,\overrightarrow {PQ} ) = \frac{{( - 8).(0) + 0.(18) + 0.(0)}}{{\sqrt {{{( - 8)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {{18}^2} + {0^2}} }} = 0 \Rightarrow (\overrightarrow {PS} ,\overrightarrow {PQ} ) = {90^\circ }\)
Các cặp cạnh còn lại có số đo góc là 90°
- Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
Chọn một cạnh bên là ST.
Vectơ pháp tuyến của mặt đáy SPQH là:
\(\vec n = \overrightarrow {SP} \times \overrightarrow {SQ} = (0.0 - 0.18;0.8 - 8.0;8.18 - 0.8) = (0;0;144)\)
\( \Rightarrow \theta = \arccos \left( {\frac{7}{{\sqrt {51} }}} \right)\)
- Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.
Chọn mặt bên là STEP
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng STEP là:
\(\overrightarrow {{n_{STEP}}} = \overrightarrow {SP} .\overrightarrow {ST} = (0.7 - 0.( - 1);0.( - 1) - 8.7;8.( - 1) - 0.( - 1)) = (0; - 56; - 8)\)
Góc giữa mặt bên STEP và mặt đáy SPQH là:
\(\cos \theta = \frac{{\left| {0.0 + 0.( - 56) + 144.( - 8)} \right|}}{{\sqrt {{{144}^2}} .\sqrt {{{( - 56)}^2} + {{( - 8)}^2}} }} = \frac{{1208}}{{144.40\sqrt 2 }} = \frac{{151}}{{720\sqrt 2 }} \Rightarrow \theta \approx 81^\circ \)
