Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1

Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

tusach.vn sẽ giúp các em hiểu rõ cách giải bài tập này một cách nhanh chóng và hiệu quả nhất.

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t) = - {t^3} + 2t - t\), với 𝑡 (đơn vị: giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và 𝑠 (đơn vị: mét) là quãng đường chất điểm di chuyển được trong khoảng thời gian đó. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 𝑠=𝑠(𝑡) trên hệ trục tọa độ 𝑡0𝑠. b) Trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 𝑠=𝑠(𝑡) trên hệ trục tọa độ 𝑡0𝑠.

b) Trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

- Tìm tập xác định của hàm số

- Xét sự biến thiên của hàm số

- Vẽ đồ thị hàm số

- Xác định biểu thức vận tốc.

- Tìm các điểm t trong khoảng từ 0 đến 2 để v(t) đạt cực trị.

Lời giải chi tiết

- Tập xác định: \(D = \{ x \ge 0,x \in R\} \)

- Tính đạo hàm: \(s'(t) = - 3{t^2} + 4t - 1\)

Giải phương trình: \(s'(t) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 4t - 1 = 0 \Rightarrow {t_1} = 1,{t_2} = \frac{1}{3}\)

- Giới hạn

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } s(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( { - {t^3} + 2{t^2} - t} \right) = - \infty \)

- Bảng biến thiên:

Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 2

- Vẽ đồ thị

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, \(\frac{1}{3}\)) và (1,∞)

Hàm số đồng biến trên khoảng (\(\frac{1}{3}\),1)

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{2},{y_{CT}} = - \frac{4}{{27}}\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 0\)

Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 3

Ta có vận tốc: \(v(t) = s'(t) = - 3{t^2} + 4t - 1\)

Điểm cực trị của vận tốc:

Giải \(s''(t) = 0\): \( - 6t + 4 = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\)

Vận tốc tại các điểm biên và cực trị:

\(\begin{array}{l}v(0) = - {3.0^2} + 4.0 - 1 = - 1\\v\left( {\frac{2}{3}} \right) = - 3{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 4\left( {\frac{2}{3}} \right) - 1 = - \frac{{12}}{9} + \frac{8}{3} - 1 = - \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - 1 = \frac{1}{3}\\v(2) = - 3 \cdot {2^2} + 4 \cdot 2 - 1 = - 12 + 8 - 1 = - 5\end{array}\)

Vậy, vận tốc lớn nhất trong khoảng thời gian 2 giây là \(\frac{1}{3}\) m/s.

Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1: Chi tiết và Dễ Hiểu

Bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững kiến thức về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Nội dung bài tập 1.24:

Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2. Hãy:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Khảo sát tính đơn điệu của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: Hàm số y = x³ - 3x² + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
Tìm điểm cực trị: Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2.
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:
- Khi x < 0: f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
- Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
- Khi x > 2: f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Khảo sát tính đơn điệu:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Lưu ý quan trọng:

Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, cần chú ý các bước sau:

Xác định đúng tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm chính xác.
Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.
Xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
Vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã tìm được.

Ứng dụng của bài tập:

Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khảo sát hàm số, một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em tự tin hơn khi làm bài kiểm tra và thi cử.

Tusach.vn – Đồng hành cùng học sinh

tusach.vn luôn đồng hành cùng các em học sinh trong quá trình học tập. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK Toán 12 tập 1. Hãy truy cập tusach.vn để được hỗ trợ tốt nhất!