Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3: Ứng dụng Hình học của Tích Phân

Chào mừng bạn đến với bài học số 3 trong chuyên đề về tích phân – Ứng dụng Hình học của Tích Phân. Bài học này sẽ đi sâu vào việc sử dụng tích phân để giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích hình phẳng và thể tích vật thể. Đây là một ứng dụng vô cùng quan trọng của tích phân, không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác.

I. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b, ta sử dụng công thức:

Diện tích = ∫_a^b |f(x)| dx

Trong đó:

• f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b]
• |f(x)| là giá trị tuyệt đối của f(x)

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Giải:

Diện tích = ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3

II. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

Có nhiều phương pháp để tính thể tích vật thể bằng tích phân, tùy thuộc vào hình dạng của vật thể. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

• Phương pháp đĩa tròn: Sử dụng khi vật thể có tiết diện vuông góc với một trục là một hình tròn.
• Phương pháp vỏ trụ: Sử dụng khi vật thể có tiết diện vuông góc với một trục là một hình trụ.

Phương pháp đĩa tròn:

Thể tích = π ∫_a^b [f(x)]² dx

Phương pháp vỏ trụ:

Thể tích = 2π ∫_a^b x * f(x) dx

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi việc quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = √x, trục Ox và đường thẳng x = 4 quanh trục Ox.

Giải:

Thể tích = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = 8π

III. Bài tập vận dụng

1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin(x), trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = π.
2. Tính thể tích vật thể tạo bởi việc quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x², trục Oy và đường thẳng y = 4 quanh trục Oy.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x² và y = 2x.

IV. Lưu ý quan trọng

Khi tính diện tích hình phẳng, cần chú ý đến dấu của hàm số f(x). Nếu f(x) âm trên một phần của đoạn [a, b], ta cần lấy giá trị tuyệt đối của f(x) trước khi tích phân.

Khi tính thể tích vật thể, cần xác định đúng phương pháp tích phân phù hợp với hình dạng của vật thể và trục quay.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về ứng dụng hình học của tích phân. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.