1. Khái niệm nguyên hàm
| Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. |
Chú ý:
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + với C thuộc R là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu \(\int {f(x)dx} = F(x) + C\).
Ví dụ: Chứng minh \(\int {kdx} = kx + C\) với k là hằng số khác 0.
Giải:
Ta có \((kx)' = k\) nên \(F(x) = kx\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = k\).
Vậy \(\int {kdx} = kx + C\).
Nhận xét:
Ta có \(\int {0dx} = C\), \(\int {dx} = \int {1dx} = x + C\).
2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
+ \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \) + \(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \) |
Ví dụ:
a) \(\int {{x^5}dx} = \frac{1}{6}{x^6} + C\).
b) \(\int {{x^{\sqrt 2 }}dx} = \frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}{x^{\sqrt 2 + 1}} + C\).
c) \(\int {{x^{ - 1}}dx} = \int {\frac{1}{x}dx = } \ln \left| x \right| + C\).
Nguyên hàm của hàm số mũ
+ \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \) + \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)} \) |
Ví dụ:
a) \(\int {{4^x}dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\).
b) \(\int {{e^{3x}}dx} = \int {{{\left( {{e^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln {e^3}}} + C = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C\).
c) \(\int {{2^x}{{.3}^x}dx} = \int {{6^x}dx} = \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\).
Nguyên hàm của hàm số lượng giác
+ \(\int {\cos xdx = \sin x + C} \) + \(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \) + \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \) + \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \) |
Ví dụ:
a) \(\int {(1 + {{\tan }^2}x)dx} = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C\).
b) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx, biết \(F(2\pi ) = 0\).
Ta có \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).
F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx nên có dạng F(x) = -cosx + C.
Vì \(F(2\pi ) = 0\) nên \( - \cos 2\pi + C = 0\) hay \( - 1 + C = 0\), suy ra C = 1.
Vậy F(x) = 1 – cosx.
3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K thì: + \(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx(k \ne 0)} } \) + \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } \) + \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } \) |
Ví dụ:
a) \(\int {6{x^3}dx} = 6\int {{x^3}dx} = 6.\frac{{{x^4}}}{4} + C = \frac{3}{2}{x^4} + C\).
b) \(\int {(3{x^2} - \cos x)dx} = 3\int {{x^2}dx} - \int {\cos xdx} = {x^3} - \sin x + C\).
c) \(\int {\left( {\frac{2}{{{{\cos }^2}x}} - {5^x}} \right)dx} = 2\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {{5^x}dx} = 2\tan x - \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C\).
