Giải Bài Tập 4.26 Trang 36 Toán 12 Tập 2

Giải bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Tusach.vn luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp đáp án chính xác và phương pháp giải bài tập hiệu quả.

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\) b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\) c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)

Đề bài

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)

b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\)

c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:

- \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}(\) với \(n \ne - 1)\);

- \(\int {\frac{1}{{{x^n}}}} dx = \frac{{{x^{1 - n}}}}{{1 - n}}\);

- \(\int {{{\sin }^2}} (x)dx = \) sử dụng công thức nửa góc: \({\sin ^2}(x) = \frac{{1 - \cos (2x)}}{2}\);

- \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}} dx = - \cot (x)\);

- \(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln (a)}}\), với \(a > 0\).

Lời giải chi tiết

a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)

Nguyên hàm của \(f(x)\) là:

\(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)

b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\)

Áp dụng công thức nửa góc:

\({\sin ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 - \cos x}}{2}\)

Ta có:

\(F(x) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin x}}{2} + \frac{{{3^{2x}}}}{{2\ln 3}} + C\)

c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)

Nguyên hàm của \(f(x)\) là:

\(F(x) = \frac{2}{9} \times {(3x)^{3/2}} + 4\cot (x) + C\).

Giải Bài Tập 4.26 Trang 36 Toán 12 Tập 2: Phân Tích Chi Tiết và Phương Pháp Giải

Bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc khảo sát hàm số bằng đạo hàm, cụ thể là tìm khoảng đơn điệu, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Kiến thức cơ bản về đạo hàm: Định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của các hàm số cơ bản.
Ứng dụng của đạo hàm: Tìm khoảng đơn điệu, cực trị, điểm uốn, tiệm cận của hàm số.
Phương pháp giải: Xác định tập xác định của hàm số, tính đạo hàm cấp một và cấp hai, tìm điểm dừng và điểm làm đạo hàm không xác định, khảo sát dấu của đạo hàm cấp một để xác định khoảng đơn điệu và cực trị, khảo sát dấu của đạo hàm cấp hai để xác định điểm uốn.

Lời Giải Chi Tiết Bài Tập 4.26

Để minh họa, giả sử bài tập 4.26 yêu cầu khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2.

Xác định tập xác định: Hàm số y = x³ - 3x² + 2 có tập xác định là D = ℝ.
Tính đạo hàm cấp một: y' = 3x² - 6x.
Tìm điểm dừng: Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Khảo sát dấu của đạo hàm cấp một:
- Khi x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến.
- Khi 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến.
- Khi x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến.
Kết luận về cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_cđ = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y_ct = -2.
Tính đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6.
Tìm điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0, ta được x = 1.
Khảo sát dấu của đạo hàm cấp hai:
- Khi x < 1, y'' < 0, đồ thị hàm số lõm xuống.
- Khi x > 1, y'' > 0, đồ thị hàm số lồi lên.
Kết luận về điểm uốn: Hàm số có điểm uốn tại x = 1, y = 0.

Lưu Ý Khi Giải Bài Tập Khảo Sát Hàm Số

Để giải quyết các bài tập khảo sát hàm số một cách chính xác và hiệu quả, các em cần:

Nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Thực hành giải nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải để đảm bảo tính chính xác.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả và hiểu rõ hơn về đồ thị hàm số.

Tusach.vn – Đồng Hành Cùng Các Em Trên Con Đường Học Tập

Tusach.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải và tự tin hơn trong quá trình học tập. Hãy truy cập Tusach.vn để khám phá thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích khác!