Đề bài
Một quả bóng được ném lên từ độ cao \(1,5m\) với vận tốc ban đầu \(24m/s\). Biết gia tốc của quả bóng là \(a = - 9,8m/{s^2}\).
a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên.
b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
1. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:
\(a(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}}\)
Lấy tích phân của gia tốc để tìm vận tốc:
\(v(t) = \int a (t){\mkern 1mu} dt\)
2. Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian:
\(v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}\)
Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:
\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt\)
Lời giải chi tiết
a)
Gia tốc của quả bóng là hằng số:
\(a(t) = - 9,8{\mkern 1mu} {\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\)
Lấy tích phân gia tốc để tìm vận tốc:
\(v(t) = \int a (t){\mkern 1mu} dt = \int - 9,8{\mkern 1mu} dt\)
Tính tích phân gia tốc từ 0 đến 1:
\(\int_0^1 { - 9,8} dt = \left. { - 9,8t} \right|_0^1 = - 9,8.1 - 0 = - 9,8\)
Mà dựa trên định nghĩa tích phân, ta có:
\(\int_0^1 {a(t){\mkern 1mu} dt} = v(1) - v(0)\)
Suy ra, vận tốc tại thời điểm 1 giây là:
\(v(1) = \int_0^1 {a(t){\mkern 1mu} dt} + v(0) = - 9,8 + 24 = 14,2\)
Vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi ném là \(14.2{\mkern 1mu} {\rm{m/s}}\).
b)
Vận tốc của quả bóng:
\(v(t) = - 9.8t + 24\)
Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:
\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt = \int {( - 9.8t + 24)} {\mkern 1mu} dt = - 4,9{t^2} + 24t + C\)
Vì \(s(0) = 1,5\) nên \(C = 1,5\)
Biết rằng khi bóng chạm đất thì \(s = 0\), suy ra thời gian quả bóng chạm đất là:
\({t_{cd}} \approx 4,96\)
Từ đó ta suy ra được quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném bóng tới lúc chạm đất là:
\(s = \int_0^{4,96} {\left| {v(t)} \right|dt} \)
Thời điểm quả bóng đạt độ cao cực đại là khi vận tốc bằng 0:
\({t_{\max }} = \frac{{24}}{{9,8}} \approx 2,45\)
Suy ra:
\(s = \int_0^{4,96} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} = \int_0^{2,45} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} + \int_{2,45}^{4,96} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} \)
\(s = \left. {\left( { - 4,9{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^{2,45} + \left. {\left( {4,9{t^2} - 24t} \right)} \right|_{2,45}^{4,96}\)
\(s \approx 29,39 + 30,9 \approx 60,29\)
Tổng quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất là 60,29m.
