Đề bài
Cho bốn điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right)\), \(B\left( {1;0;6} \right)\), \(C\left( {0;2; - 1} \right)\), \(D\left( {1;4;0} \right)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Suy ra \(ABCD\) là một tứ diện.
b) Tính chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\).
c) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua ba điểm \(B\), \(C\), \(D\) nên sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BD} \). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {BCD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\). Từ đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
Để chứng minh \(ABCD\) là một tứ diện, cần chỉ ra điểm \(A\) không nằm trên \(\left( {BCD} \right)\).
b) Chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng để tính khoảng cách đó.
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\). Từ đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua ba điểm \(B\left( {1;0;6} \right)\), \(C\left( {0;2; - 1} \right)\), \(D\left( {1;4;0} \right)\) nên sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;2; - 7} \right)\) và \(\overrightarrow {BD} = \left( {0;4; - 6} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {BCD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {16; - 6; - 4} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(16\left( {x - 0} \right) - 6\left( {y - 2} \right) - 4\left( {z + 1} \right) = 0\), hay \(8x - 3y - 2z + 4 = 0\).
Thay toạ độ điểm \(A\left( { - 2;6;3} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), ta thấy không thoả mãn, do \(8.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 4 = - 36 \ne 0\). Vậy điểm \(A\) không nằm trên \(\left( {BCD} \right)\), điều đó đồng nghĩa \(ABCD\) là một tứ diện.
b) Chiều cao \(AH\) của tứ diện \(ABCD\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), khoảng cách đó bằng \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\left( { - 2} \right) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}\)
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 6;3} \right)\) và \(\overrightarrow {CD} = \left( {1;2;1} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 12;0;12} \right)\). Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \( - 12\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 12\left( {z - 6} \right) = 0\), hay \( - x + z - 5 = 0\).
